13 Sesión Contenidos: Función exponencial. Elementos de la función exponencial. Gráfico de funciones exponenciales en el plano cartesiano. Profesor: Víctor Manuel Reyes F. Asignatura: Matemática para Ciencias de la Salud (MAT-011) Segundo Semestre 2012

Aprendizajes esperados: Determina intervalos de crecimiento y decrecimiento, dominio y recorrido, ceros de la función, esboza la gráfica y determina asíntotas, a partir de la función exponencial dada algebraicamente. Resuelve ejercicios de aplicación (con enunciado verbal), que se comportan exponencialmente.

La función exponencial En un centro de estudio de alimentos se está analizando el grado de descomposición de un alimento. Se considera que el alimento está contaminado si la cantidad de bacterias por milímetro cuadrado es 512 o más. Si en un comienzo hay una bacteria por milímetro cuadrado y se sabe que esta bacteria tarda cerca de 20 minutos en duplicarse, ¿cuánto tiempo tardará el alimento en estar descompuesto?

La función exponencial Consideremos el alimento contaminado a las 512 bacterias. Al comienzo hay una bacteria por milímetro cuadrado y se sabe que esta bacteria tarda cerca de 20 minutos en reproducirse.

La función exponencial

La función exponencial En general, una expresión de la forma f(x) = bkx se llama función exponencial con base b, exponente x y constante k. Evidentemente el valor de x y el de la base dependerá del tipo de bacteria, y en general, estos valores dependen del fenómeno en estudio.

La función exponencial La base puede ser cualquier número que no sea uno. En ciencias las bases más usadas son los números e ≈ 2,7118 y el número 10. f (x) = ex f (x) = 10x

La función exponencial Evidentemente que para bases mayores que 1, cuanto más grande sea, la función crece más rápido. f (x) = 10x f (x) = 5x f (x) = 2x En estos ejemplos hemos supuesto constante k=1

La función exponencial: Si el exponente es negativo, la función exponencial decrece. Cuanto más grande sea la base, más rápido es el decrecimiento. f (x) = 10-x f (x) = 0,0002x f (x) = e-x

La función exponencial: Si b > 1 la función es creciente para todo x ∈ R. f (x) = 7x Si 0 < b < 1 la función es decreciente para todo x ∈ R. f (x) = 0,6x Si k < 0 la función es decreciente para todo x ∈ R. f (x) = 2-x El dominio de la función es R y su recorrido es R+. La función no tiene ni máximos ni mínimos locales. Así, la gráfica de la función exponencial sólo se presenta por sobre el eje x y se extiende infinitamente en sentido horizontal.

La función exponencial de base e: El número e, esta considerado el número por excelencia del cálculo, como π para geometría e i para análisis complejo. para valores muy grandes de m, con m en los N. El valor numérico de e con sólo 12 decimales es: e = 2,718281828459… La función ex coincide con su derivada, como consecuencia de esto, describe el comportamiento de acontecimientos físicos regidos por leyes sencillas. Aparece en muchos otros campos de la ciencia y la técnica, describiendo fenómenos eléctricos y electrónicos (descarga de un condensador, amplificación de corrientes en transistores BJT, etc.), biológicos (crecimiento de células, etc.), químicos (concentración de iones, periodos de semidesintegración, etc.), y muchos más.

La función exponencial de base e: La función exponencial de base e surge en el estudio de crecimiento y decrecimiento de poblaciones. Supongamos que N0 es el número de individuos presentes en una población en un tiempo t = 0 y k es un número real fijo, el modelo N(t) = N0 ek t nos indica el número de individuos que tiene la población en un tiempo t. Nota que si k > 0 la función N es creciente y por lo tanto estamos frente a un modelo de crecimiento poblacional. Si k < 0 la situación se invierte y tenemos un modelo de decrecimiento de población.

Aplicación función exponencial: Una bacteria en el oído medio se incrementa a razón del 2% cada hora. Supone que al inicio de una infección bacteriana estaban presentes 120 bacterias. Determina el número de bacterias N(t) presentes después de t horas. ¿Cuántas bacterias están presentes en el organismo después de 40 horas? Solución: Es claro del planteamiento del problema, que la función exponencial resultante debe ser creciente. Utilizando el modelo N(t) = N0 ek t, y con los datos aportados, obtenemos que: N(t) = 120 e0.02 t

Pasadas 40 horas el número de bactérias presentes será de N(40) ≈ 267. Aplicación función exponencial: N(t) = 120 e0.02 t Pasadas 40 horas el número de bactérias presentes será de N(40) ≈ 267.

Aplicación función exponencial: Muchas drogas absorbidas por el cuerpo humano siguen una ley de decaimiento exponencial, debido a que el metabolismo propio de la acción de enzimas degradan sustancias y aceleran sus reacciones de descomposición. N(t) = 457e-0,08t Por ejemplo, si N es la cantidad de Nicotina en microgramos por cm3 de sangre presente en el organismo en el transcurso de t días, entonces

Aplicación función exponencial: Decaimiento radioactivo La cantidad que queda de una muestra de una sustancia radiactiva después de t años viene dada por una función de la forma Q(t) = 3297e-0,0001t Al final de 5.000 años quedan 2.000 gramos de la sustancia. ¿Cuántos gramos había inicialmente?

Aplicación función exponencial: La curva logística Estas curvas son modelos bastante precisos del crecimiento de una población cuando los factores ambientales imponen un límite superior al tamaño posible de la población, o en el caso que los índices de natalidad disminuyen cuando la población aumenta, por ejemplo. También describen la propagación de epidemias, y también aparecen en muchas reacciones químicas y físico-químicas.

Aplicación función exponencial: El desarrollo de cierta epidemia se caracteriza por tener un comportamiento dado por la función que representa la cantidad de personas que la adquieren en un determinado tiempo t medido en semanas. ¿Cuántas personas habrán sido contagiados en tres semanas?

Aplicación función exponencial: La función f en el contexto del planteo del problema, tiene sentido para . Observa que cuando parte la epidemia 125 personas están contagiadas, esto se obtiene de f(0). Como la función es creciente, sabemos que a medida que pasen las semanas el número de contagiados aumenta. Sin embargo después de muchas semanas el número de personas con la enfermedad tiende a estabilizarse en 250.