Curso de Estabilidad IIb Ing. Gabriel Pujol Teoría de Falla Solicitaciones combinadas Problema de Aplicación Resolución del Ejercicio N° 8 Curso de Estabilidad IIb Ing. Gabriel Pujol Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

Veamos el siguiente ejemplo: y x z A B C D E F 4 Tn 10 Tn 5 Tn M = 8 Tn . m X 2 m 1 m Enunciado Hallar las tensiones máximas en el empotramiento A y el giro alrededor del eje x, de la sección E (X). Trazar los diagramas de momentos torsores, los diagramas de tensiones y los diagramas de esfuerzos actuantes. Verificar las tensiones máximas para la fibra más solicitada y calcular el coeficiente de seguridad () aplicando el criterio de Von Mises. Nota: El momento torsor de M está aplicado en la sección B. Datos: AC = 40 cm  CE= 10 cm  DF= 10 cm Material: aluminio (6061), G = 2,7x105 kgf/cm2 Veamos el siguiente ejemplo:

Veamos los datos del material: Resolución Para el aluminio 6061 se tiene:  FL= 150 N/mm2 por lo tanto:  FL= 1530 kgf/cm2 Veamos los datos del material:

Veamos las características geométricas de la sección: Resolución Siendo la sección del empotramiento A una sección circular maciza será: Veamos las características geométricas de la sección:

Calculemos las solicitaciones actuantes en el empotramiento A: Resolución x y z A Solicitación axil: MY = 22x105 kgf.cm tracción (+) Solicitaciones por corte: MZ = -30x105 kgf.cm TZ = -4000 kgf NX = 5000 kgf MX = 12x105 kgf.cm Solicitación por momentos flexores: TY = -10000 kgf Solicitación por momento torsor: Calculemos las solicitaciones actuantes en el empotramiento A:

Calculemos las tensiones debidas al esfuerzo axil: Resolución y z La tensión normal será:  X = 3,97 kgf/cm2 Calculemos las tensiones debidas al esfuerzo axil:

Calculemos las tensiones debidas a los momentos flexores: Resolución y z MZ MY MF El momento flexor actuante será:  … y el ángulo  que forma con el eje z resulta: z y MF  P  Xmax ≈ 592 kgf/cm2 Por su parte, la distribución de tensiones normales será: Calculemos las tensiones debidas a los momentos flexores: donde:

…y las tensiones normales totales serán… Resolución …, por el principio de superposición de efectos, la suma de las tensiones debidas a la solicitación axil y las debidas al momento flexor: z y MF P  MAX ≈ 596 kgf/cm2 …y las tensiones normales totales serán… donde:

Calculemos las tensiones debidas a los esfuerzos cortantes: TY TZ T y z Q Resolución  El esfuerzo cortante actuante será: … y el ángulo  que forma con el eje z resulta: MAX1 Por su parte, la distribución de tensiones corte será parabólica con una MAX1: Calculemos las tensiones debidas a los esfuerzos cortantes:

Calculemos las tensiones debidas al momento torsor: Resolución y z A B MAX2 Las tensiones tangenciales debidas al momento torsor tendrán distribución radial con un valor máximo MAX2 : Las tensiones tangenciales máxima total será la suma de las tensiones debidas al esfuerzo de corte (MAX1) y al momento torsor (MAX2). Esta tensión se verificará en un punto tal como el A: … y por su parte: … en el punto P la tensión 1 no es nula por ser P ≠ Q ya que  ≠ , pero al 1 ser muy cercana a 0 (cero) puede despreciarse. Calculemos las tensiones debidas al momento torsor:

Q T  Resolución P Veamos los diagramas: Luego analizaremos la tensión P correspondiente al punto P   Definimos Q P Q Definimos P T Q   P Trazamos el diagrama Q  Graficamos las tensiones normales El diagrama resultará independiente del ángulo Graficamos las tensiones tangenciales debidas al corte Veamos los diagramas: Graficamos las tensiones tangenciales debidas a la torsión Trazamos el diagrama 

Analicemos el valor de P: Resolución   P La expresión de las tensiones tangenciales P debidas al esfuerzo de corte tendrán una distribución cuadrática según la siguiente expresión: Q y Q   P donde y resulta ser: por lo tanto, P puede despreciarse Analicemos el valor de P:

Calculemos las tensiones principales para la fibra más solicitada (P) Resolución El estado tensional del punto P será el siguiente: y el tensor de tensiones: …será el correspondiente a un estado espacial de tensiones. Calculamos sus invariantes: Calculemos las tensiones principales para la fibra más solicitada (P)

Resolución …y aplicando Ruffini:

Los centros y radios de las familias de circunferencias son: Resolución Los centros y radios de las familias de circunferencias son:

Tracemos ahora las circunferencias de Mohr:  [kgf/cm2]  [kgf/cm2] Resolución R2 (≈345) R3 (≈250) R1 (≈95) C2 (≈250) 3 (-95,49) C1 (0) 2 (95,49) C3 (≈345) 1 (596) Tracemos ahora las circunferencias de Mohr:

Apliquemos ahora el criterio de Von Mises: Resolución “La falla se producirá cuando la energía de distorsión por unidad de volumen debida a los esfuerzos máximos absolutos en el punto crítico sea igual o mayor a la energía de distorsión por unidad de volumen de una probeta en el ensayo de tracción en el momento de producirse la fluencia” Para el aluminio (6061) resulta: Apliquemos ahora el criterio de Von Mises:

… y el diagrama de Momentos Torsores es: Resolución … y el diagrama de Momentos Torsores es:

Bibliografía Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

Muchas Gracias