Unidad 2 Capítulo IV Ecuaciones homogéneas

Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de primer U-2. Cap. IV. Ecuaciones Homogéneas Una ecuación homogénea de primer orden es una clase de ecuación diferencial que puede reducirse a una de variables separables. Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es homogénea cuando es posible expresarla en la forma: Esta característica permite introducir la variable auxiliar: y la derivada:

Por ejemplo, la ecuación. U-2. Cap. IV. Ecuaciones Homogéneas Por ejemplo, la ecuación. es homogénea, dado que la función f puede ordenarse de modo tal que resulte una función de u. Es importante observar que el adjetivo “homogénea”, como se usa aquí, tiene un significado diferente al de las ecuaciones de orden superior. Esta dualidad es desafortunada y puede causar confusión, pero usualmente el contexto clarifica el significado de la palabra.

¡una ecuación separable! U-2. Cap. IV. Ecuaciones Homogéneas De este modo, al sustituir ambas en la ecuación original se tiene: ¡una ecuación separable! Solución: Se procede a separar las variables, aplicar el operador integral y una vez obtenida la solución (u) se debe regresar a las variables originales.

Ejemplo: Resuelva la siguiente ecuación diferencial: U-2. Cap. IV. Ecuaciones Homogéneas Ejemplo: Resuelva la siguiente ecuación diferencial: Solución: Se puede reconocer que esta es una ecuación homogénea debido a que todos los términos algebraicos que contiene la función f son de segundo grado. Así, la ecuación puede reordenarse en la forma:

Mediante separación de variables se obtiene: U-2. Cap. IV. Ecuaciones Homogéneas Mediante separación de variables se obtiene: Al aplicar el operador integral, la primera se resuelve usando la variable de sustitución w = 1  3u2:

De esta manera, la solución general de la ecuación diferencial es: U-2. Cap. IV. Ecuaciones Homogéneas Ahora, regresando a las variables originales y usando las propiedades de los logaritmos, se tiene: En donde la constante 3C se sustituye por el logaritmo natural de otra constante C1. De esta manera, la solución general de la ecuación diferencial es:

Al ordenar esta última expresión se tiene: U-2. Cap. IV. Ecuaciones Homogéneas Prueba: Se puede probar que la función obtenida es solución de la ecuación diferencial si, al derivarla, se obtiene la ecuación que la generó. Al ordenar esta última expresión se tiene:

Ejemplo: Resuelva el siguiente problema de valor inicial: U-2. Cap. IV. Ecuaciones Homogéneas Ejemplo: Resuelva el siguiente problema de valor inicial: Solución: Nuevamente, a pesar del radical, se puede reconocer que esta ecuación es homogénea. Todos los términos algebraicos del numerador y el denominador de la función f son de primer grado. Un análisis simple de los términos en el radical produce:

U-2. Cap. IV. Ecuaciones Homogéneas pero , por lo que la ecuación diferencial se puede ordenar en la forma: y así

U-2. Cap. IV. Ecuaciones Homogéneas Ahora, separando variables y aplicando el operador integral se obtiene: La primera integral se resuelve a través de la técnica de sustitución trigonométrica, haciendo:

U-2. Cap. IV. Ecuaciones Homogéneas se tiene: de donde: y así:

De esta manera, la solución de las integrales produce: U-2. Cap. IV. Ecuaciones Homogéneas De esta manera, la solución de las integrales produce: o bien: y en las variables originales: Por lo tanto, la solución general es:

De esta manera, la solución particular es: U-2. Cap. IV. Ecuaciones Homogéneas Como el problema original es de valor inicial, se aplican las condiciones iniciales para determinar la constante C1. así: De esta manera, la solución particular es: