Unidad 4. Capítulo IX. Búsqueda de Yp: Variación de parámetros.

U-4. Cap. IX. Método de variación de parámetros. Un método general para encontrar una solución particular de una ecuación no homogénea dada es el llamado variación de parámetros. Es aplicable a ecuaciones con coeficientes constantes cuyo término no homogéneo sea cualquier función de la variable independiente. Este procedimiento requiere del conocimiento previo de la solución general de la ecuación homogénea asociada. Desarrollado por J.L. Lagrange (1736-1813), también se le conoce como método de Lagrange.

siendo p, q y r funciones constantes. U-4. Cap. IX. Método de variación de parámetros. Considere la ecuación diferencial lineal, no homogénea, de segundo orden en la forma estándar: siendo p, q y r funciones constantes. Se sabe que su ecuación homogénea asociada: tiene dos soluciones linealmente independientes y1 y y2, por lo que su solución general es:

U-4. Cap. IX. Método de variación de parámetros. La idea principal del método de variación de parámetros consiste en buscar una solución particular sustituyendo las constantes C1 y C2 de la solución complementaria por las funciones incógnitas u1(x) y u2(x); en la forma: de manera que la solución particular yp satisfaga la ecuación no homogénea: es decir:

1. Suponer que yp satisfaga la ecuación: U-4. Cap. IX. Método de variación de parámetros. Las funciones incógnitas u1 y u2 se obtienen a partir del sistema de ecuaciones que se obtiene mediante: 1. Suponer que yp satisfaga la ecuación: 2. Usar la condición de Lagrange: Así, la primera derivada de yp es:

Al sustituir en la ecuación diferencial se tiene: U-4. Cap. IX. Método de variación de parámetros. y la segunda derivada: Al sustituir en la ecuación diferencial se tiene: como y1 y y2 son soluciones de la ecuación homogénea se tiene que:

U-4. Cap. IX. Método de variación de parámetros. entonces: De esta manera, las derivadas de u1 y u2 se obtienen al resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: cuya solución es única, dado que el determinante del sistema (el Wronskiano) nunca es idénticamente cero, ya que y1 y y2 son soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea asociada.

y usando la regla de Cramer, se obtienen las siguientes expresiones: U-4. Cap. IX. Método de variación de parámetros. y usando la regla de Cramer, se obtienen las siguientes expresiones: por lo que u1 y u2 se pueden determinar en forma única mediante las integrales:

Así, la solución general de la ecuación no homogénea: U-4. Cap. IX. Método de variación de parámetros. Las constantes de integración que se puedan obtener no tienen importancia y pueden hacerse cero sin pérdida de generalidad. Así, la solución general de la ecuación no homogénea: es: o bien:

entonces la solución general puede expresarse en la forma U-4. Cap. IX. Método de variación de parámetros. Ocasionalmente, la solución particular incluye múltiplos de la solución complementaria, que se omiten al expresar la solución general; por ejemplo, si las soluciones son: entonces la solución general puede expresarse en la forma dado que un número sumado a una constante arbitraria sigue siendo una constante arbitraria.

Ejemplo: Determine la solución general de la ecuación U-4. Cap. IX. Método de variación de parámetros. Ejemplo: Determine la solución general de la ecuación Solución: la solución general de la ecuación es: donde yc, solución de la ecuación homogénea asociada es y yp, una solución particular de la ecuación no homogénea

Sabiendo que y1 = ex y y2 = e2x, el wronskiano es: U-4. Cap. IX. Método de variación de parámetros. Sabiendo que y1 = ex y y2 = e2x, el wronskiano es: de manera que así la solución particular de la ecuación no homogénea es

Por lo tanto, la solución general de la ecuación no homogénea U-4. Cap. IX. Método de variación de parámetros. Por lo tanto, la solución general de la ecuación no homogénea es Observe que la solución particular incluye un múltiplo de la solución complementaria (ex) por lo que: o bien

U-4. Cap. IX. Método de variación de parámetros. Prueba: la solución general obtenida debe satisfacer la ecuación diferencial, por lo que: deben cumplir: 

Ejemplo: Determine la solución general de la ecuación: U-4. Cap. IX. Método de variación de parámetros. Ejemplo: Determine la solución general de la ecuación: Solución: Para resolver esta ecuación se requiere obtener una expresión equivalente para la función de respuesta: Entonces, la solución de la ecuación diferencial es: en donde: y

cuyas soluciones r1 = 1 y r2 = 2, permiten establecer: U-4. Cap. IX. Método de variación de parámetros. La solución complementaria, yc = erx , produce la ecuación característica cuyas soluciones r1 = 1 y r2 = 2, permiten establecer: La solución particular, yp = u1y1 + u2y2, se obtiene a través de la solución del sistema: con solución única debido a que su Wronskiano es no nulo

La solución particular es, entonces: U-4. Cap. IX. Método de variación de parámetros. Así La solución particular es, entonces: o bien Por lo tanto, la solución general es: