Aplicación: Circuito RLC (b)

Aplicación: Circuito RLC Para el circuito (a): De la ley de Ohm con

Aplicación: Circuito RLC Es más conveniente utilizar un voltaje complejo Esto se puede hacer gracias a las ecuaciones lineales que relacionan al voltaje y a la corriente:

Aplicación: Circuito RLC En resumen, si la respuesta “matemática” a un voltaje complejo V(t) es I(t), entonces la respuesta “real” al voltaje Re[V(t)] será Re[I(t)]

Aplicación: Circuito RLC Para el circuito (b) en estado estacionario: con con tenemos tenemos De aquí se definen las impedancias (resistencias puramente imaginarias)

Aplicación: Circuito RLC Utilizando el resultado anterior [obtenido para (a)]: Tomando la parte real tenemos finalmente

Aplicación: Circuito RLC Se podría hacer uso nuevamente de las ventajas del “voltaje complejo” para una interpretación del resultado: Definiendo y Entonces es decir De modo que el voltaje y la corriente difieren en amplitud ( ) y están desfasados por una fase

Aplicación: circuito RLC Equivalentemente, un circuito está descrito por una ecuación diferencial (leyes de Kirchhoff). Por ejemplo, para un circuito RLC

Aplicación: circuito RLC tenemos la ec. diferencial : carga Notemos que tenemos una ec. diferencial lineal La ec. diferencial se resuelve suponiendo que y Sustituyendo Q y V encontramos:

Aplicación: circuito RLC Por lo tanto, De aquí que la corriente I, dada por con viene dada por

Aplicación: circuito RLC Por lo tanto, o bien, introduciendo la impedancia Z: Finalmente, considerando la parte real

Integración Compleja Hemos visto que la noción de derivada vista en Cálculo (variables reales) se ve modificada debido al caracter bidimensional del plano complejo, e.g., una función puede aproximarse a un límite desde un número infinito de direcciones. Este caracter bidimensional afecta también a la teoría de integración. Ahora necesitamos considerar integrales a lo largo de curvas en el plano (no únicamente sobre segmentos del eje x) Uno de los resultados principales que veremos es el teorema de Cauchy

Integración compleja Primero veamos el caso más simple: Integrales de funciones de una variable real. Supongamos que una función compleja w depende únicamente de una variable real t: Para este caso, las reglas del Cálculo Integral se extienden a este tipo de funciones.

Integración compleja Sin embargo, tenemos la siguiente propiedad:

Integración compleja (contornos) Contornos o caminos Imaginemos que trazamos una curva en el plano complejo, en un intervalo de “tiempo”: De modo que en un instante “t” dibujamos el punto De esta manera podemos considerar que es el rango de la función Se dice que es una parametrización de

Integración compleja (contornos) Al conjunto de puntos z=(x,y) en el plano complejo se les llama arco o camino, si e son funciones continuas del parámetro t Existen diferentes tipos de arcos (caminos),e.g.: Arcos simples (suave): Arcos simples cerrados: Arcos no simples: No suave suave 8

Integración compleja (contornos) También el orden de los puntos del arco es importante, usualmente esto se indica con una flecha Así, el punto precede a si

Integración compleja (contornos) Se le llama contorno (o C ) a una secuencia finita de curvas , tal que el punto final de la curva coincide con el punto inicial de la curva . Se puede decir que Si el punto final e inicial del contorno coinciden, el contorno es cerrado Un contorno cerrado simple es aquel que divide al plano en dos dominios: el interior que es acotado y el exterior que no es acotado

Integración compleja (contornos) Comentarios: La parametrización de un arco no es única Un mismo conjunto de puntos pueden formar distintos arcos La longitud de un arco no depende de la parametrización y está dada por (como en Cálculo):

Integración compleja (contornos) Se dice que el arco descrito por z(t) es un arco diferenciable si las derivadas son continuas en el intervalo Además la función es integrable en el intervalo Aún más, se dice que el arco es suave si z'(t) es continua y no nula en el mismo intervalo

Integración compleja (contornos) Integrales de contorno (o de camino) Las integrales de camino dependen, en general, de la curva (suave) que va de un punto a al punto b y de la misma función f(z), por supuesto. Se denota la integral como Si la curva está descrita por una parametrización z=z(t) con

Integración compleja (contornos) Entonces Nótese que al considerar una curva suave, la derivada z'(t) existe. Además la integral es independiente de la parametrización utilizada.

Integración compleja (contornos) Si es la curva/camino sobre la que se integra f(z(t)), la curva , recorre los mismos puntos, pero en sentido inverso y