CIRCUITO RLC En electrodinámica un circuito RLC es un circuito lineal que contiene una resistencia eléctrica, una bobina (inductancia) y un condensador.

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2 CIRCUITO RLC En electrodinámica un circuito RLC es un circuito lineal que contiene una resistencia eléctrica, una bobina (inductancia) y un condensador (capacitancia). Existen dos tipos de circuitos RLC, o en serie o en paralelo según la interconexión de los tres tipos de componentes. El comportamiento de un circuito RLC se describen generalmente por una ecuación diferencial de segundo orden (en donde los circuitos RC o RL se comportan como circuitos de primero orden).

3 Con ayuda de un generador de señales, es posible inyectar en el circuito oscilaciones y observar en algunos casos el fenómeno de resonancia, caracterizado por un aumento de la corriente (ya que la señal de entrada elegida corresponde a la pulsación propia del circuito, calculable a partir de la ecuación diferencial que lo rige). Un circuito RLC se compone de los elementos pasivos: resistencia, bobina y condensador. La resistencia representa la oposición al paso de corriente, la bobina es retardo en el cambio de intensidad y el condensador la acumulación de carga. Veremos el caso más sencillo, el circuito RLC en corriente continua, es decir, conectado a una fuente que proporciona al circuito una tensión constante en el tiempo.

4 COMPONENTES DE UN CIRCUITO RLC RESISTENCIA Todos los elementos del circuito que es oponen al paso de corriente y donde se disipa energía por efecto Joule y su valor depende de su geometría y de la resistividad ρ (ecuación 1). Donde l es la longitud, s la sección. V representa la caída de potencial en la resistencia debido al paso de corriente. La ecuación (3) representa la potencia disipada en la resistencia en función de la caída de potencial en la misma. Observamos que su valor nunca podrá ser 0, ya que eso equivaldría a una potencia infinita.

5 Bobina Todos los elementos del circuito en los que se acumula y cede energía en forma de campo magnético. El potencial inducido en la bobina, por la Ley de Lenz, viene dado por la expresión: Con N el número de vueltas de la bobina, Ф el flujo que la atraviesa y L la auto inductancia. Cualquier cambio en el flujo (o sea, en la intensidad) establecerá un voltaje que podrá retardar (que no evitar) el cambio en la intensidad. La ecuación (5) representa la potencia absorbida o cedida por la bobina. Como podemos observar, este elemento no permite un cambio instantáneo (tiempo cero) finito en la intensidad, ya que si esto ocurriese tendríamos un potencial infinito y eso es imposible.

6 Condensador Todos los elementos del circuito donde se almacena y cede energía en forma de campo eléctrico. Se produce una acumulación de cargas en sus placas dando lugar a una diferencia de potencial entre ellas. Se caracteriza (como los resistores por la resistencia R y la bobina por la autoinductancia L) por la capacidad C, la relación entre la carga acumulada y el potencial entre sus placas: De (6) se deriva: Donde Q es la carga acumulada en las placas y V el potencial entre ellas. La potencia de este elemento viene como: Donde I se obtiene de la forma diferencial de C=dQ/dV y sabiendo que I=dQ/dt. De forma análoga a los casos anteriores se extrae que en este elemento no puede haber cambios instantáneos de voltaje, ya que eso llevaría como consecuencia un potencial infinito.

7 ¿CÓMO RESOLVER UN CIRCUITO RLC? A estos circuitos también se les llama circuitos de segundo orden, ya que la ecuación que resulta al aplicar las leyes de Kirchoff es una ecuación diferencial de segundo orden. Supongamos un circuito como el de la figura 1 al que conectamos una batería que suministra un voltaje continuo V b. La segunda Ley de Kirchoff dice lo siguiente: "La suma de voltajes en una malla cerrada es igual a cero.“ Por lo tanto, aplicado a nuestro circuito obtenemos lo siguiente. Sustituyendo ahora las ecuaciones obtenemos: Que es una ecuación integro-diferencial. Para resolverla derivaremos consiguiendo la ecuación diferencial de segundo orden de la que hablábamos.

8 El término dV b /dt ha desaparecido ya que como considerábamos que se trata de una fuente de voltaje constante, la derivada es nula. Para resolver esta ecuación diferencial homogénea de 2º orden procedemos calculando las raíces para obtener una solución del tipo: Las raíces correspondientes a la ecuación (10) son: Si llamamos α=R/2L (constante de amortiguación), y sustituimos en las soluciones nos quedarán: Sólo queda saber qué valen las constantes K 1 y K 2. En el instante t=0, I=0, y eso nos lleva a que 0= K 1 +K 2 es decir, que K 2 =-K 1.

9  Si α > ω o : Las soluciones serán reales, distintas y de signo negativo. Sabemos que la caída de potencial en el circuito era como en la ecuación (8), que en el instante t=0 el condensador no permite un cambio brusco de voltaje (por lo que V c =0) y la bobina no permite un cambio brusco en la intensidad, y en la resistencia es cero(V=I·R). Por lo tanto el único elemento en el que hay caída de potencial es en la bobina. Con estas condiciones la ecuación (8) se simplifica en la (13). (13) Haciendo uso de la relación trigonométrica la solución final se dice sobre amortiguada, y queda como:

10 Si α = ω o : Las soluciones serán reales, iguales y de signo negativo también. Para esta condición, las soluciones a la ecuación diferencial son: Hallamos las constantes siguiendo el mismo razonamiento que en el apartado anterior. En t=0, I=0, por lo tanto eso nos lleva a que K 1 =0. La solución será I(t) = K 2 ·t·e -αt. (14) Y la solución en este caso se dice críticamente amortiguada:

11 La solución en este caso se dice sub amortiguada. Análogamente, para t=0, I=0, K 2 =0 y la expresión será. Derivando ésta con el tiempo obtenemos Si α < ω o : Las soluciones serán imaginarias complementarias y por lo tanto las soluciones son de la forma:

12 En los tres casos observamos, como cabría esperar, un rápido aumento en la intensidad al conectar el circuito. En las dos primeras, en instantes posteriores al conectar el circuito, se ve una rápida caída en la intensidad tendiendo a cero, debido al coeficiente de amortiguamiento. Dependiendo de las relaciones entre R, L y C esa bajada será más rápida o menos. En el último caso apreciamos un cambio en el signo de la intensidad y también un atenuación a medida que pasa el tiempo. La relación entre los valores de R, L y C es tal que hay un desfase entre la intensidad que pasa por la bobina y la que pasa por el condensador, haciendo por lo tanto que la polaridad de ésta cambie.

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