Universidad de las Ciencias Informáticas UCI Matemática Numérica
Métodos Numéricos de Integración.
Sumario: 1.1 Planteamiento del problema. 1.2 Métodos numéricos de integración.
1.1 Planteamiento del problema
Volúmenes Masas Momentos y centroides Longitud de una curva Áreas Aplicaciones de la Integral Volúmenes Masas Momentos y centroides Longitud de una curva Trabajo de una fuerza Probabilidades Carga eléctrica
1º caso En el intervalo [a,b] se conoce analíticamente a la función f 1º caso En el intervalo [a,b] se conoce analíticamente a la función f. Se necesita calcular el valor aproximado de y estimar el error cometido.
¡¡¡ No existe primitiva elemental !!!! Determine: ¡¡¡ No existe primitiva elemental !!!!
Longitud de una elipse Caso particular K=1.
Patrón de transmisión. Para calcular Potencia que radía la antena.
Campana de Gauss (XIX). Cálculo de probabilidad de una variable con distribución normal.
Teoría de Campos Electromagnéticos.
2º caso Supongamos que en el intervalo [a,b] se conocen los valores de la función f en los puntos xi (nodos) de [a,b]. Se necesita calcular el valor aproximado de
No se conoce f(x) analíticamente + - + - Q(t) Cargador Batería
i(t) + - + - Q(t) Cargador Batería
1.2 Métodos numéricos de integración.
Fórmulas de integración numérica Los números Ai se llaman factor de ponderación o pesos A la diferencia R(n)= I – In le llamamos residuo o error
Método de los Rectángulos Este método se basa en la definición de la integral definida a partir de la Suma Riemann.
Método de los Rectángulos Izquierdos Si consideramos una partición uniforme {x0 ,x1,…,xn } del intervalo [a,b] con norma Y seleccionando los puntos ci como el extremo inferior de cada sub intervalo se tiene que:
xo x1 x2 xn-1 xn
Método de los Rectángulos Derechos De manera análoga y seleccionando los puntos ci como el extremo superior de cada sub intervalo se tiene que:
El error de truncamiento local en el intervalo [xi ,xi+1 ] es 50 Error de Truncamiento Local. El error de truncamiento local en el intervalo [xi ,xi+1 ] es xi ci xi+1
Error de Truncamiento Local. Puede probarse que el error de truncamiento en el intervalo [a, b] está dado por:
Fórmula asintótica del Error.
Solo para valores de h pequeños. Fórmula asintótica del Error. Solo para valores de h pequeños.
Paso h: Resultado: Ih Error: Rh Paso 2h: Resultado: I2h Error: R2h Fórmula mediante doble cálculo. Paso h: Resultado: Ih Error: Rh Paso 2h: Resultado: I2h Error: R2h
Ih + Rh = I2h + R2h R2h = C(2h)p = 2pChp = 2pRh Ih + Rh = I2h + 2pRh Fórmula mediante doble cálculo. Ih + Rh = I2h + R2h R2h = C(2h)p = 2pChp = 2pRh Ih + Rh = I2h + 2pRh p=1
Método del Punto Medio. En este método también la aproximación es mediante rectángulos de bases igual al paso h=(b-a)/n pero la altura f(ci) se toma con ci igual al punto medio del sub intervalo [xi ,xi+1 ].
Fórmula de Integración
+ - Error local de truncamiento xi ci xi+1 xn-1 xn
p=2 Error de Truncamiento Local. Fórmula asintótica del error. Error mediante doble cálculo. p=2
Método de los Trapecios.
y = f(x) y0 y1 y2 yn x0 x1 x2 xn
y = f(x) y0 y1 y2 yn x0 x1 x2 xn
y = f(x) y0 y1 y2 yn x0 x1 x2 xn
y = f(x) y0 y1 y2 yn x0 x1 x2 xn
y = f(x) y0 y1 y2 yn x0 x1 x2 xn
y = f(x) y0 y1 y2 yn x0 x1 x2 xn
y = f(x) y0 y1 y2 yn x0 x1 x2 xn
y = f(x) y = p(x) y0 y1 y2 yn x0 x1 x2 xn
y0 y1 y2 yn x0 x1 x2 xn
p1(x) y0 y1 y2 yn x0 x1 x2 xn
p1(x) y0 y1 y2 yn h x0 x1 x2 xn
p1(x) y0 y1 y2 yn h x0 x1 x2 xn
p1(x) y0 y1 y2 yn h x0 x1 x2 xn
p2(x) y0 y1 y2 yn h x0 x1 x2 xn
Fórmula de los trapecios
donde: (paso) xi = a + ih i = 0, 1, 2,...,n yi = f(xi)
Se supone que f es continua en [a, b]. Algoritmo Se desea obtener: Se supone que f es continua en [a, b]. Datos: f(x), a, b y n
El resultado es Integral Terminar Algoritmo h := (b-a)/n Suma := [f(a) + f(b)]/2 for i = 1 to n-1 x := a + ih Suma := Suma + f(x) end Integral := h*Suma El resultado es Integral Terminar
p=2 Error de Truncamiento Local. Fórmula asintótica del error. Error mediante doble cálculo. p=2
Método de Simpson ó Método de las Parábolas.
y = f(x) n: Par y0 y1 y2 yn x0 x1 x2 xn
y = f(x) y0 y1 y2 yn x0 x1 x2 xn
y = f(x) y0 y1 y2 yn x0 x1 x2 xn
y = f(x) y0 y1 y2 yn x0 x1 x2 xn
y = f(x) y0 y1 y2 yn x0 x1 x2 xn
y = f(x) y0 y1 y2 yn x0 x1 x2 xn
y = f(x) y0 y1 y2 yn x0 x1 x2 xn
y = f(x) y = p(x) y0 y1 y2 yn x0 x1 x2 xn
y0 y1 y2 yn x0 x1 x2 xn
y0 y1 y2 yn x0 x1 x2 xn
y0 y1 y2 yn x0 x1 x2 xn
y0 y1 y2 yn x0 x1 x2 xn
E = y0 + yn I = y1 + y3 + ... + yn-1 P = y2 + y4 + ... + yn-2
Algoritmo h := (b-a)/n E := f(a) + f(b) I := 0; i := 1 do while i < n x := a + ih I := I + f(x) i := i + 2 end P := 0; i := 2
P := 0; i := 2 do while i < n x := a + ih P := P + f(x) i := i + 2 end Integral := h(E + 4I + 2P)/3 El resultado es Integral Terminar
p=4 Error de Truncamiento Local. Fórmula asintótica del error. Error mediante doble cálculo. p=4
Estudiar Método de Gauss de m puntos Estudio Independiente. Estudiar Método de Gauss de m puntos Conferencia 12 M_IV Dr. Manuel Alvarez
Bibliografía Texto: Secciones: 5.1, 5.2 y 5.3