MATEMÁTICA Clase Funciones: exponencial, logarítmica y raíz cuadrada PPTC3M026M311-A15V1 Clase Funciones: exponencial, logarítmica y raíz cuadrada Propiedad Intelectual Cpech

Aprendizajes esperados Analizar la función exponencial, estudiando las variaciones que se producen por la modificación de sus parámetros y determinar el dominio y recorrido de la función. Analizar la función logarítmica, estudiando las variaciones que se producen por la modificación de sus parámetros y determinar el dominio y recorrido de la función. Aprendizajes esperados Analizar las distintas representaciones de la función raíz cuadrada. .

Contenidos Comportamiento y análisis de la función exponencial, dependiendo de los parámetros. Comportamiento y análisis de la función logarítmica, dependiendo de los parámetros. Comportamiento y análisis de la función raíz cuadrada, dependiendo de los parámetros.

1. Función exponencial Es de la forma: f(x) = ax con a > 0, a ≠ 1 y x  IR Ejemplo 1: La gráfica de f(x) = 2x es: f(x) = 2x x y f(0) = 20 = 1 f(1) = 21 = 2 f(2) = 22 = 4 f(3) = 23 = 8 f(– 1) = 2– 1 = 0,5 f(– 2) = 2– 2 = 0,25…

1. Función exponencial La gráfica de f(x) = es: 1 2 x Ejemplo 2: y f(0) = = 1 1 2 f(1) = = 1 2 f(2) = = 1 2 4 f(– 1) = = 2 1 2 – 1 f(– 2) = = 4 1 2 – 2 Al igual que en la función anterior se tiene que: Dom(f) = IR Rec (f) = IR+

1. Función exponencial Ley de crecimiento y decrecimiento exponencial a) Si a > 1, f(x)= ax es creciente en todo IR. 1 a > 1 x y

1. Función exponencial Ley de crecimiento y decrecimiento exponencial b) Si 0 < a < 1, f(x)= ax es decreciente en todo IR. Notar que la gráfica de f(x) = ax pasa por (0,1)

1. Función exponencial Ejemplo: Determine la función que representa el número de bacterias que hay en una población, después de x horas, si se sabe que inicialmente había 10.000 bacterias, y que la población se triplica cada una hora. Solución: Cantidad inicial = 10.000 Después de: 1 hora = 10.000·3 = 10.000·31 = 30.000 2 horas = 10.000·3·3 = 10.000·32 = 90.000 3 horas = 10.000·3·3·3 = 10.000·33 = 270.000... Después de x horas = 10.000 · 3x Por lo tanto, la función que representa el número de bacterias después de x horas es: f(x)= 10.000 · 3x En general f(x) = C · kx , donde C = cantidad inicial, k = variación y x = tiempo

2. Función logarítmica La inversa de una función exponencial de base a, se llama función logarítmica de base a y se representa por: y = loga x  ay = x (Con a > 0, a  1).

2. Función logarítmica Ley de crecimiento y decrecimiento logarítmico a) Si a > 1, f(x) = loga x es creciente para x > 0 x > 0 x y 1 Dom (f) = IR+ Rec (f) = IR

2. Función logarítmica Ley de crecimiento y decrecimiento logarítmico b) Si 0 < a < 1, f(x) = loga x es decreciente para x > 0 x > 0 x y 1 Dom (f) = IR+ Rec (f) = IR Notar que la gráfica de f(x) = log a x pasa por (1,0)

Aplicaciones Ecuación exponencial Son aquellas ecuaciones en las que la incógnita se encuentra en el exponente. a) Bases iguales: Si ab = ac, entonces b = c (para todo a positivo distinto de 1). Ejemplo: Si 3x = 81  3x = 34  x = 4

Aplicaciones Ecuación exponencial b) Bases distintas: Si ad = bc entonces aplicamos logaritmos. Ejemplo: Si ax = bc entonces, aplicando logaritmos: log (ax) = log (bc) x · log a = c · log b x = log a c · log b

Aplicaciones Ecuación logarítmica Si logc a = logc b entonces a = b Esto es válido para todo a, b y c, mayores que cero y c ≠ 1 Ejemplo: log (5x) = 2 log (5x) = log 100 5x = 100 x = 20

3. Función raíz cuadrada   Es de la forma: f(x) = x , con x ≥ 0 Su representación gráfica es la mitad de una parábola de eje horizontal, que empieza en el origen y se abre hacia la derecha: y = x  Dom(f) = IR+ ∪ {0} Rec(f) = IR+ ∪ {0}

3. Función raíz cuadrada    Propiedad x2 = |x| Ejemplos: a) 52 = |5| = 5 a)  b) (–4)2 = |– 4 | = 4 

3. Función raíz cuadrada  Rama negativa Cuando se tiene f(x) = – x , las imágenes corresponden al valor negativo de la raíz (excepto para x = 0). De esta forma, también se habla de la función raíz, con su rama negativa.  Su representación gráfica: Dom (f) = IR+ U {0} Rec(f) = IR- U {0}

3. Función raíz cuadrada  Ejemplo: Determinar el dominio y recorrido de f(x) = 2x – 6  Solución: El dominio se obtiene de la desigualdad: 2x – 6 ≥ 0 2x ≥ 6 x ≥ 3 Los reales x que tienen imagen f(x) real, son aquellos que satisfacen la desigualdad x ≥ 3. Por lo tanto: Dom(f) = [3, +∞[ El recorrido de esta función se obtiene del gráfico viendo su proyección sobre el eje y.

3. Función raíz cuadrada Gráficamente: y x 3 El recorrido de la función es: Rec(f) = IR+ U {0} o también: Rec(f) = [0,+∞ [

3. Función raíz cuadrada  Ejemplo: Determinar el dominio y recorrido de: f(x) = 5x –10 + 4 Solución: El dominio se obtiene de la desigualdad: 5x – 10 ≥ 0 5x ≥ 10 x ≥ 2 Los reales x que tienen imagen f(x) real, son aquellos que satisfacen la desigualdad x ≥ 2. Por lo tanto: Dom(f) = [2, +∞[

3. Función raíz cuadrada Gráficamente: x y 3 2 1 4 El recorrido de la función es: Rec(f) = [4, +∞[ Rec(f) = { y  IR / y ≥ 4} o también: