Tele clase 9 Interpolación mediante splines

Problema de interpolación local Se utilizan pocos nodos (3 ó 4) para hallar un valor interpolado o para determinar un polinomio interpolador, válido en un pequeño intervalo.

Gráficamente

Gráficamente Problema local x

Gráficamente Problema local x

Gráficamente Problema local p(x) x

Gráficamente

Gráficamente Problema global

Una solución que a veces sirve

Una solución que a veces sirve Convertir el problema global en varios problemas locales.

Una solución que a veces sirve

Una solución que a veces sirve p1(x)

Una solución que a veces sirve p2(x) p1(x)

Una solución que a veces sirve p3(x) p2(x) p1(x)

Una solución que a veces sirve p3(x) p4(x) p2(x) p1(x)

Una solución que a veces sirve p3(x) p4(x) p2(x) p5(x) p1(x)

Una solución que a veces sirve Punto anguloso p3(x) p4(x) p2(x) p5(x) p1(x)

Una mala solución

Una mala solución Utilizar un polinomio interpolador de grado suficientemente alto.

Una mala solución

Una mala solución

Moraleja La interpolación polinomial de grado alto no es una solución adecuada al problema de interpolación global.

Función spline Es una función polinomial por tramos que es continua y posee derivadas continuas hasta de un cierto orden.

Spline cúbico interpolador Es una función polinomial por tramos.

Spline cúbico interpolador Es una función polinomial por tramos. Los polinomios que lo componen son de grado menor o igual que tres.

Spline cúbico interpolador Es una función polinomial por tramos. Los polinomios que lo componen son de grado menor o igual que tres. Es una función continua y posee primera y segunda derivadas continuas.

Spline cúbico interpolador Es una función polinomial por tramos. Los polinomios que lo componen son de grado menor o igual que tres. Es una función continua y posee primera y segunda derivadas continuas. Se emplea como función global de interpolación.

Spline cúbico interpolador

Spline cúbico interpolador Condición de interpolación: s(xi) = f(xi) = yi i = 0, 1,..., n

Spline cúbico interpolador Condición de continuidad: s(x) es continua en xi i = 1, 2,..., n-1

Spline cúbico interpolador Condiciones de suavidad: s’(x) y s”(x) son continuas en xi i = 1, 2,..., n-1

Condiciones s(xi) = f(xi) = yi i = 0, 1,..., n s(x) es continua en xi i = 1, 2,..., n-1 s’(x) es continua en xi i = 1, 2,..., n-1 s”(x) es continua en xi i = 1, 2,..., n-1

Condiciones s(xi) = f(xi) = yi n + 1 i = 0, 1,..., n s(x) es continua en xi i = 1, 2,..., n-1 s’(x) es continua en xi i = 1, 2,..., n-1 s”(x) es continua en xi i = 1, 2,..., n-1

Condiciones s(xi) = f(xi) = yi n + 1 i = 0, 1,..., n s(x) es continua en xi n - 1 i = 1, 2,..., n-1 s’(x) es continua en xi i = 1, 2,..., n-1 s”(x) es continua en xi i = 1, 2,..., n-1

Condiciones s(xi) = f(xi) = yi n + 1 i = 0, 1,..., n s(x) es continua en xi n - 1 i = 1, 2,..., n-1 s’(x) es continua en xi n - 1 i = 1, 2,..., n-1 s”(x) es continua en xi i = 1, 2,..., n-1

Condiciones s(xi) = f(xi) = yi n + 1 i = 0, 1,..., n s(x) es continua en xi n - 1 i = 1, 2,..., n-1 s’(x) es continua en xi n - 1 i = 1, 2,..., n-1 s”(x) es continua en xi n - 1 i = 1, 2,..., n-1

Condiciones s(xi) = f(xi) = yi n + 1 i = 0, 1,..., n s(x) es continua en xi n - 1 i = 1, 2,..., n-1 s’(x) es continua en xi n - 1 i = 1, 2,..., n-1 s”(x) es continua en xi n - 1 i = 1, 2,..., n-1 4n - 2

Spline cúbico interpolador

Spline cúbico interpolador coeficientes

Spline cúbico interpolador coeficientes 4n - 2 condiciones

Spline cúbico interpolador coeficientes 4n - 2 condiciones condiciones extras 2

Notación Mi = s”(xi) i = 0,1,2,...,n hi = xi+1 - xi i = 0,1,2,...,n-1

Segunda derivada de s(x)

Segunda derivada de s(x) M0 M1 M2 Mn x0 x1 x2 xn x

Notación Considérese el intervalo xi  x  xi+1 i = 0,1,2,...,n-1

Segunda derivada de s(x)

Segunda derivada de s(x)

Segunda derivada de s(x)

Segunda derivada de s(x)

Integrando indefinidamente

Derivada de s(x)

Integrando de nuevo

Expresión de s(x)

Evaluando las constantes K1 y K2

Evaluando las constantes K1 y K2

La ecuación del spline cúbico

La ecuación del spline cúbico

La ecuación del spline cúbico Tramo i xi  x  xi+1

Derivada laterales en xi

Derivada laterales en xi

Derivadas laterales en xi

La derivada es continua

La derivada es continua

La condición fundamental

El spline natural i = 1, 2, ..., n-1

El spline natural i = 1, 2, ..., n-1

El spline natural Es la función interpoladora que minimiza la integral:

El spline natural Haciendo i = 1

El spline natural Haciendo i = 1 = 0

El spline natural Haciendo i = 2

El spline natural Haciendo i = 3

El spline natural Haciendo i = n-1

El spline natural Haciendo i = n-1 = 0

El spline natural M1 M2 M3 Mn-1

El spline natural M1 M2 M3 Mn-1

El spline natural M1 M2 M3 Mn-1

El spline natural M1 M2 M3 Mn-1

El spline natural M1 M2 M3 Mn-1

El spline natural M1 M2 M3 Mn-1

El spline natural =

Ejemplo Calcular el spline cúbico natural correspondiente a los nodos: x y 1 2 2 2,2 3 3 4 2,7 6 2,8

El spline natural

Ejemplo x y 1 2 2 2,2 3 3 4 2,7 6 2,8

Ejemplo x y 1 2 h0 = 1 2 2,2 h1 = 1 3 3 h2 = 1 4 2,7 h3 = 2 6 2,8

Ejemplo x y 1 2 h0 = 1 y0 2 2,2 h1 = 1 y1 3 3 h2 = 1 y2 4 2,7 h3 = 2 y3 6 2,8 y4

Ejemplo x y 1 2 h0 = 1 y0 M0 = 0 2 2,2 h1 = 1 y1 M1 = ? 3 3 h2 = 1 y2 M2 = ? 4 2,7 h3 = 2 y3 M3 = ? 6 2,8 y4 M4 = 0

El spline natural M1 M2 M3 Mn-1

Ejemplo M1 M2 = M3

El spline natural =

Ejemplo 0,6 = = -1,1 0,35

Ejemplo M1 M2 = M3

Ejemplo 0,6 M1 -1,1 M2 = M3 0,35

Ejemplo 0,6 M1 -1,1 M2 = M3 0,35 M1 = 2,0775 M2 = - 2,355 M3 = 0,7425

Ejemplo 0,6 M1 -1,1 M2 = M3 0,35 M0 = 0 M1 = 2,0775 M2 = - 2,355 M3 = 0,7425 M4 = 0

La ecuación del spline cúbico Tramo i xi  x  xi+1

Ejemplo Tramo 0 x0  x  x1

Ejemplo Tramo 0 1  x  2 0,245732 x3 – 0,737195 x2 + + 0,691463 x + 1,8

Ejemplo Tramo 1 x1  x  x2

Ejemplo Tramo 1 2  x  3 - 0,628659 x3 + 4,509146 x2 + - 9,80122 x + 8,795122

Ejemplo Tramo 2 x2  x  x3

Ejemplo Tramo 2 3  x  4 0,568902 x3 – 6,268902 x2 + + 22,532927 x – 23,539024

Ejemplo Tramo 3 x3  x  x4

Ejemplo Tramo 3 4  x  6 - 0,092988 x3 + 1,673780 x2 + - 9,620732 x + 20,353659

El spline natural: tramo 0

El spline natural: tramo 1

El spline natural: tramo 2

El spline natural: tramo 3

El spline natural

Ejemplo spline cúbico polinomio de grado 4

Algoritmo del spline cúbico natural Datos:

Algoritmo del spline cúbico natural Datos: x0, x1, x2, ..., xn Distintos y ordenados de menor a mayor.

Algoritmo del spline cúbico natural Datos: x0, x1, x2, ..., xn Distintos y ordenados de menor a mayor. y0, y1, y2, ..., yn

Algoritmo del spline cúbico natural Datos: x0, x1, x2, ..., xn Distintos y ordenados de menor a mayor. y0, y1, y2, ..., yn x  [x0, xn]

Algoritmo del spline cúbico natural

Algoritmo del spline cúbico natural for i = 0 to n-1 hi := xi+1 - xi end

Algoritmo del spline cúbico natural for i = 0 to n-1 hi := xi+1 - xi end Formar la matriz H del sistema

Algoritmo del spline cúbico natural for i = 0 to n-1 hi := xi+1 - xi end Formar la matriz H del sistema Formar la matriz Y del sistema

Algoritmo del spline cúbico natural for i = 0 to n-1 hi := xi+1 - xi end Formar la matriz H del sistema Formar la matriz Y del sistema Resolver el sistema HM = Y

Algoritmo del spline cúbico natural for i = 0 to n-1 hi := xi+1 - xi end Formar la matriz H del sistema Formar la matriz Y del sistema Resolver el sistema HM = Y while xi > x do i := i – 1 end

Algoritmo del spline cúbico natural while xi > x do i := i – 1 end

Algoritmo del spline cúbico natural while xi > x do i := i – 1 end

Algoritmo del spline cúbico natural while xi > x do i := i – 1 end u := x – xi

Algoritmo del spline cúbico natural while xi > x do i := i – 1 end u := x – xi v := xi+1 – x

Algoritmo del spline cúbico natural while xi > x do i := i – 1 end u := x – xi v := xi+1 – x

Algoritmo del spline cúbico natural while xi > x do i := i – 1 end u := x – xi v := xi+1 – x Terminar

En MN2000

En MN2000

En MN2000

En MN2000

Spline cúbico natural x0 xn x

Spline cúbico natural s”(x0+) = 0 x0 xn x

Spline cúbico natural s”(x0+) = 0 s”(xn-) = 0 x0 xn x

Spline cúbico anclado x0 xn x

Spline cúbico anclado s’(x0+) =   x0 xn x

Spline cúbico anclado s’(x0+) =   s’(xn-) =   x0 xn x

Spline cúbico periódico y0 yn x0 xn x

Spline cúbico periódico y0 = yn y0 yn x0 xn x

Spline cúbico periódico y0 = yn s’(x0+) = s’(xn-) y0 yn x0 xn x

Spline cúbico periódico y0 = yn s’(x0+) = s’(xn-) s”(x0+) = s”(xn-) y0 yn x0 xn x

Spline cúbico periódico y0 = yn s’(x0+) = s’(xn-) s”(x0+) = s”(xn-) y0 yn x0 xn x

Spline cúbico periódico y0 = yn s’(x0+) = s’(xn-) s”(x0+) = s”(xn-) y0 yn x0 xn x

Bibliografía Texto: Sección: 4.5

Ejercicios recomendados Sección 4.5: 1, 2, 3, 9