Series de Fourier Las series de Fourier se aplican a señales periódicas. Fueros propuestas por el matemático francés Joseph Fourier en 1807. Con el uso de las series de Fourier, “una señal periódica que satisface ciertas condiciones, puede ser expandida a una suma infinita de funciones seno y coseno.”

Series de Fourier Tiempo Continuo Considere una señal periódica real de tiempo x(t), con periodo T De acuerdo a Fourier, la forma trigonométrica con coeficientes reales de la serie de Fourier de una señal periódica, está dada por: Frecuencia angular 0=2/T

Obtención de los coeficientes En estas integrales los coeficientes an y bn están en función de n0. Cn son los coeficientes de Fourier

Obtención de los coeficientes Debido a la periodicidad, es más conveniente utilizar los límites de integración de t=0 a t=T. note que el coeficiente a0/2 da el valor promedio de x(t) en el intervalo de un periodo, es decir:

Armónicos En la fórmula de expansión de la serie de Fourier, n=1 define el armónico fundamental, n=2 da el segundo armónico, etc. Una señal senoidal de frecuencia angular n0, se llama el armónico de orden n. Para muchos coeficientes reales an y bn decaen muy rápido a cero a medida que n se incrementa, por esto, las señales pueden ser aproximadas por la serie truncada de Fourier Donde N es el número de armónicos incluidos en la aproximación. Una buena aproximación? No, entonces se aumenta N

Cálculo de los coeficientes de la Serie Ejemplo: Encontrar la Serie de Fourier para la siguiente función de periodo T: Solución: La expresión para f(t) en –T/2<t<T/2 es 1 f(t) t . . . -T/2 0 T/2 -1

Cálculo de los coeficientes de la Serie Coeficientes an:

Cálculo de los coeficientes de la Serie Coeficiente a0:

Cálculo de los coeficientes de la Serie Coeficientes bn:

Cálculo de los coeficientes de la Serie Serie de Fourier: Finalmente la Serie de Fourier queda como En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7 así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para w0=p, es decir, T=2:

Cálculo de los coeficientes de la Serie -1 -0.5 0.5 1 -1.5 1.5 Componentes de la Serie de Fourier t Componentes Suma fundamental tercer armónico quinto armónico septimo armónico

Espectros de Frecuencia Discreta El espectro de amplitud se muestra a continuación Observación: El eje horizontal es un eje de frecuencia, (n=número de armónico = múltiplo de w0). -30 -20 -10 10 20 30 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Espectro de Amplitud de f(t) n Cn  Frecuencia negativa ? Frecuencia

De la Serie a la Transformada de Fourier Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo T: 1 f(t) t . . . -T -T/2 0 T/2 T . . . p -p/2 p/2

De la Serie a la Transformada de Fourier Los coeficientes de la Serie Compleja de Fourier en este caso resultan puramente reales: El espectro de frecuencia correspondiente lo obtenemos (en este caso) graficando cn contra w=nw0.

Espectro del tren de pulsos para p=1, T=2 De la Serie a la Transformada de Fourier Espectro del tren de pulsos para p=1, T=2

De la Serie a la Transformada de Fourier Si el periodo del tren de pulsos aumenta: -20 -10 10 20 0.5 1 1.5 p=1, T=2 t f(t) -20 -10 10 20 0.5 1 1.5 p=1, T=5 f(t) t -20 -10 10 20 0.5 1 1.5 p=1, T=10 t f(t) -20 -10 10 20 0.5 1 1.5 p=1, T=20 t f(t)

De la Serie a la Transformada de Fourier En el límite cuando T, la función deja de ser periódica: ¿Qué pasa con los coeficientes de la serie de Fourier? -20 -10 10 20 0.5 1 1.5 p=1, T= t f(t)

De la Serie a la Transformada de Fourier -0.2 0.2 0.4 0.6 p=1, T=2 w=nw0 cn -50 50 -50 50 -0.1 0.1 0.2 0.3 p=1, T=5 -0.05 0.05 0.1 0.15 p=1, T=10 -50 50 -50 50 -0.02 0.02 0.04 0.06 p=1, T=20

De la Serie a la Transformada de Fourier Si hace T muy grande (T): El espectro se vuelve ¡continuo!

De la Serie a la Transformada de Fourier El razonamiento anterior nos lleva a reconsiderar la expresión de una función f(t) no periódica en el dominio de la frecuencia, no como una suma de armónicos de frecuencia nw0, sino como una función continua de la frecuencia w. Así, la serie Al cambiar la variable discreta nw0 (cuando T) por la variable continua w, se transforma en una integral de la siguiente manera:

De la Serie a la Transformada de Fourier Como La serie queda O bien, cuando T, nw0w y w0dw y la sumatoria se convierte en

De la Serie a la Transformada de Fourier Es decir, Donde Estas expresiones nos permiten calcular la expresión F(ω) (dominio de la frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa Identidad de Fourier Transformada De Fourier

De la Serie a la Transformada de Fourier Notación: A la función F(ω) se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota por F, es decir En forma similar, a la expresión que nos permite obtener f(t) a partir de F(ω) se le llama transformada inversa de Fourier y se denota por F –1 ,es decir

De la Serie a la Transformada de Fourier Ejemplo. Calcular F(ω) para el pulso rectangular f(t) siguiente Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la función es -p/2 0 p/2 1 f(t) t

De la Serie a la Transformada de Fourier Integrando Usando la fórmula de Euler Obsérvese que el resultado es igual al obtenido para cn cuando T , pero multiplicado por T.

De la Serie a la Transformada de Fourier En forma gráfica -50 50 0.5 1 F(ω) con p=1 ω F(ω)