Procesamiento Digital de Señales (DSP)

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1 Procesamiento Digital de Señales (DSP)
Es el tratamiento o manipulación de datos digitales que representan alguna señal física. Los datos son normalmente generados mediante un proceso de conversión A/D. El procesamiento se puede clasificar en dos grupos: Estadístico Fourier

2 Análisis de Fourier: Encontrar información “escondida” dentro de los datos: - Limpiarla (ruido) - Ubicar patrones - Compactarla - Reacomodarla Técnicas empleadas - Transformaciones de Fourier - Filtrado Digital - Convolución y Correlación

3 Aplicaciones: Óptica Astronomía Geología Análisis Químico Materiales
Computación Medicina Acústica Música Video

4 Series de Fourier Cualquier señal periódica continua se puede representar como una serie infinita de senos y cosenos de diferentes amplitudes cuyas frecuencias son harmónicas de la frecuencia de la señal. Esto es lo que se conoce como la serie de Fourier de la señal.

5 f(t)=f(t+nT), donde n=0,1,  2, 3,...
Una Función Periódica f(t) tiene la siguiente propiedad para todo valor de t. f(t)=f(t+T) A la constante mínima T para la cual se cumple lo anterior se le llama el periodo de la función Repitiendo la propiedad se puede obtener: f(t)=f(t+nT), donde n=0,1,  2, 3,...

6 Serie Trigonométrica de Fourier
Las Funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada Serie Trigonométrica de Fourier f(t) = ½ a0 + a1cos(w0t)+a2cos(2w0t)+... + b1sen(w0t)+b2sen(2w0t)+... Donde w0=2p/T. Es decir,

7 Es posible escribir de una manera ligeramente diferente la Serie de Fourier, si observamos que el término ancos(nw0t)+bnsen(nw0t) se puede escribir como Podemos encontrar una manera más compacta para expresar estos coeficientes pensando en un triángulo rectángulo:

8 Con lo cual la expresión queda
an bn qn

9 Si además definimos C0=a0/2, la serie de Fourier se puede escribir como
y

10 Así, una función periódica f(t) se puede escribir como la suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias wn=nw0. A la componente sinusoidal de frecuencia nw0: Cncos(nw0t+qn) se le llama la enésima armónica de f(t). A la primera armónica (n=1) se le llama la componente fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t) A la frecuencia w0=2pf0=2p/T se le llama frecuencia angular fundamental.

11 Cálculo de los coeficientes de la Serie
Dada una función periódica f(t) ¿cómo se obtiene su serie de Fourier? Obviamente, el problema se resuelve si sabemos como calcular los coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,... Esto se puede resolver considerando la ortogonalidad de las funciones seno y coseno.

12 Functiones Ortogonales
Un conjunto de funciones {k} es orthogonal en el intervalo a < t < b si se cumple que

13 Functiones senoidales ortogonales

14 Multiplicando ambos miembros de la identidad por cos(nw0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:
Similarmente, multiplicando por sen(nw0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:

15 Ejemplo: Encontrar la Serie de Fourier para la siguiente función de periodo T:
Solución: La expresión para f(t) en –T/2<t<T/2 es 1 f(t) t T/ T/ T -1

16 Coeficientes an:

17 Coeficiente a0:

18 Coeficientes bn:

19 Serie de Fourier: Finalmente la Serie de Fourier queda como
En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7 así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para w0=p, es decir, T=2:

20 Componentes de la Serie de Fourier
-1 -0.5 0.5 1 -1.5 1.5 Componentes de la Serie de Fourier t Componentes Suma fundamental tercer armónico quinto armónico septimo armónico

21 Forma Compleja de la Serie de Fourier
Consideremos la serie de Fourier para una función periodica f(t), con periodo T=2p/w0. Es posible obtener una forma alternativa usando las fórmulas de Euler: Donde

22 Forma Compleja de la Serie de Fourier
La serie se puede escribir como O bien, Es decir,

23 A la expresión obtenida
Se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse a partir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o bien: Para n=0, 1, 2, 3, ...

24 Espectros de Frecuencia Discreta
Dada una función periódica f(t), le corresponde una y sólo una serie de Fourier, es decir, le corresponde un conjunto único de coeficientes cn. Por ello, los coeficientes cn especifican a f(t) en el dominio de la frecuencia de la misma manera que f(t) especifica la función en el dominio del tiempo.

25 Espectros de Frecuencia Discreta
Observación: El eje horizontal es un eje de frecuencia, (n=número de armónico = múltiplo de w0). -30 -20 -10 10 20 30 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Espectro de Amplitud de f(t) n Cn  Frecuencia negativa (?) Frecuencia

26 Ancho de banda de una señal
Existen muchas definiciones para el ancho de banda de una señal, dependiendo del contexto en que se emplee el término. Una de ellas se refiere al conjunto de las componentes de frecuencia cuya amplitud no es menor en 3 dB a la mayor componente del espectro de Fourier de la señal. Esta definición sería inapropiada si el objetivo es mantener una representación fiel de la señal. Obviamente, para una señal periódica podemos obtener su ancho de banda con su serie de Fourier.

27 De la Serie a la Transformada de Fourier
La serie de Fourier nos permite obtener una representación en el dominio de la frecuencia para funciones periódicas f(t). ¿Es posible extender de alguna manera las series de Fourier para obtener el dominio de la frecuencia de funciones no periódicas? La respuesta es sí, pero ahora el espectro de frecuencias NO es discreto sino continuo.

28 De la Serie a la Transformada de Fourier
Tren de pulsos de amplitud 1, ancho P y periodo T: 1 f(t) t T T/ T/ T p -p/ p/2

29 Espectro del tren de pulsos para P=1, T=2

30 cn w=nw0 p=1, T=2 p=1, T=5 p=1, T=10 p=1, T=20 -50 50 -0.1 0.1 0.2 0.3
-0.2 0.2 0.4 0.6 p=1, T=2 w=nw0 cn -50 50 -0.1 0.1 0.2 0.3 p=1, T=5 -50 50 -0.05 0.05 0.1 0.15 p=1, T=10 -50 50 -50 50 -0.02 0.02 0.04 0.06 p=1, T=20

31 Si hace T muy grande sin aumentar P (T): El espectro se vuelve ¡continuo!

32 Es decir, Donde Estas expresiones nos permiten calcular la expresión F(w) (dominio de la frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa Transformada De Fourier Identidad De Fourier

33 Notación: A la función F(w) se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota por F, es decir
En forma similar, a la expresión que nos permite obtener f(t) a partir de F(w) se le llama transformada inversa de Fourier y se denota por F –1 ,es decir

34 Ejemplo. Calcular F(w) para el pulso rectangular f(t) siguiente
Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la función es -p/2 0 p/2 1 f(t) t

35 Integrando Usando la fórmula de Euler: Obsérvese que el resultado es igual al obtenido para cn cuando T , pero multiplicado por T.

36 En forma Gráfica

37 Señales Discretas Tipos de señales :
Analógica : Continua en tiempo y amplitud 2) Discreta en el Tiempo:

38 Transformada Discreta de Fourier
FT: Cuando la señal de origen es continua El tiempo y la frecuencia son variables continuas Pero si las señales son discretas DTFT (Discrete Time Fourier Transform) El tiempo se discretiza pero la frecuencia sigue siendo continua (la suma es infinita)

39 The DFT Para discretizar ambas variables
Limitamos la frecuencia continua a un valor máximo value de Fs Discretizamos la frecuencia a valores m La Transformada se convierte en

40 The DFT En donde : X(m) = la mth DFT componente de salida: X(0), X(1),X(2)… m = Indice de la salida de la DFT en el dominio de la fecuencia m = 0,1,2,…,N-1 x(n) = muestras de entrada, x(0),x(1),x(2)….. n = Indice de las muestras de entrada,n = 0,1,2,3,…, N-1 N = Número total de muestras de entrada y de los puntos de frecuencia en la salida de la DFT.

41 DFT La DFT es una cantidad compleja La magnitus de X(m) es :
El ángulo de X(m) es :

42 DFT Ejemplo Supongamos que se desea evaluar la DFT en 8 puntos a una señal Senoidal con componenetes de frequencia de 1KHz and 2KHz Supongamos que: Periodo de x(t) = 1/1Khz = 1/1000 8 muestras/periodo => Ts = 1/8000 sec O sea Fs = 8000 muestras/s t = nTs n = 0,1,…,7

43 DFT Ejemplo (Cont…) Entonces Componente DC Etc... Evaluando se tiene:
X(0) = j (dc) X(2) = j (2Khz) X(4) = j (4Khz) X(6) = – j (6Khz) X(1) = 0 – j 4 (1KHz) X(3) = 0 + j 0 (3Khz) X(5) = 0 + j 0 (5Khz) X(7) = 0 + j 4 (7KHz)

44 DFT Ejemplo (Resultados)

45 Simetría en la DFT Se observa que:
magnitud de X(N-m) = magnitud de X(m) fase de X(N-m) = fase de X(m) O: X(m) = complejo conjugado de X(N-m) Conclusión: Al calcular la DFT de x(n) en N puntos, obtenemos N términos complejos de salida pero sólo los primeros N/2 términos son independientes

46 Propiedades de la DFT Linealidad: si a(n) = b(n) + c(n)
entonces A(m) = B(m) + C(m) 2) Teorema del corrimiento: : Si y(n) = x(n+k) entonces Y(m) = ej2pikm/N X(m)

47 Transformada Inversa IDFT
Para obtener x(n) a partir de X(m)

48 Fugas en la DFT Las salidas de DFT corresponden a las frecuencias f = mfs/N ¿Qué sucede si la entrada tiene frecuencias que no coinciden Con esos valores Digamos que en el ejemplo anterior se tienen frecuencias 2.3 Khz y muestreamos 8000 M/s Los picos detectados son = 0Kkz, 1Khz, 2Khz,…,7Khz pero el pico 2.3 Khz no aparece!! Este pico de frecuencia se ha “fugado” (escurrido) Remedio “Windowing”

49 Ejemplo gráfico Dominio del Tiempo Dominio de la Frecuencia

50 Transformada Rápida de Fourier (FFT)
La Transformada Discreta de Fourier (DFT) requiere el cálculo de N funciones exponenciales para obtener F(n), lo cual resulta un esfuerzo de cálculo enorme para N grande. Se han desarrollado métodos que permiten ahorrar cálculos y evaluar de manera rápida la Transformada discreta, a estos métodos se les llama Transformada Rápida de Fourier (FFT)

51 En el cálculo de la transformada directa de Fourier el número de operaciones requeridas es proporcional a N2 En el cálculo de la transformada rápida de Fourier (FFT) el número de operaciones requeridas es proporcional a N(lnN)

52 En Resumen: Para encontrar el espectro de frecuencias de una señal continua y periódica empleamos su SERIE DE FOURIER Para encontrar el espectro de frecuencias de una señal continua aperiódica empleamos la TRANSFORMADA DE FOURIER Para encontrar el espectro de frecuencias de una señal discreta y periódica empleamos la DFT Para encontrar el espectro de frecuencias de una señal discreta aperiódica aproximamos con la DFT La DFT se implementa con la FFT