UNIDAD 7. CAPÍTULO II. TRANSFORMADA DE LAPLACE L .

U-7. CAP. II. TRANSFORMADA DE LAPLACE L. Transformada de Laplace: técnica matemática que forma parte de las transformaciones integrales. Se aplica en la solución de problemas de valor inicial (PVI) que involucran ecuaciones diferenciales, integrales y diferenciointegrales. Permite resolver PVI en los que la función de respuesta es, por lo menos, continua por tramos (o seccionalmente continua).

Metodología para resolver un PVI con esta técnica: U-7. CAP. II. TRANSFORMADA DE LAPLACE L. Metodología para resolver un PVI con esta técnica: Aplicar la transformación a la ecuación que modela el PVI (diferencial, integral o diferencio-integral). Usar las propiedades de la transformación para simplificar el resultado anterior. Ordenar la expresión anterior para obtener una función análoga a una transformada. Obtener la transformación inversa del resultado de los puntos 2 y 3.

Definición. Sea f una función definida para: U-7. CAP. II. TRANSFORMADA DE LAPLACE L. Definición. Sea f una función definida para: Entonces la transformada de Laplace de: se define mediante la integral impropia: siempre que esta integral sea convergente.

Una integral impropia del tipo: U-7. CAP. II. TRANSFORMADA DE LAPLACE L. Una integral impropia del tipo: se dice que converge si existe el siguiente límite: Por ejemplo: La integral impropia: converge a 1 debido a que:

La transformada de Laplace de una función existe si: U-7. CAP. II. TRANSFORMADA DE LAPLACE L. La transformada de Laplace de una función existe si: 1 La función es de orden exponencial. Una función f (t) se dice de orden exponencial a si existe una constante positiva M y un número T tal que: condición que se cumple siempre que f (t) no crezca más rápido que la función exponencial en el intervalo [T, ).

2 La función es continua o, al menos, continua por tramos: U-7. CAP. II. TRANSFORMADA DE LAPLACE L. 2 La función es continua o, al menos, continua por tramos: en donde: f (t) = f1(t)  f2(t)  f3(t)  f4(t)

U-7. CAP. II. TRANSFORMADA DE LAPLACE L. Definición: La transformada inversa de F(s), es una función f(t), cuya transformada es precisamente la función F(s), es decir: siempre y cuando Esta definición permite establecer que la aplicación del operador transformada sobre el inverso (y viceversa) producen la identidad, o sea: