HOMOMORFISMOS E ISOMORFISMOS DE GRUPOS Prof. Henry Martínez

+ 1 2 3  1 1 i i (ℤ4,+) ({1,1,i,i},)

+ 1 2 3  1 i 1 i (ℤ4,+) ({1,i,1,i},)

+ 1 2 3  e a b c (ℤ4,+) Grupo de Klein

+ 1 2 + 1 2 3 4 5 (ℤ3,+) (ℤ6,+)

+ 1 2 + 1 2 3 4 5 (ℤ3,+) (ℤ6,+) <2>={0,2,4}

+ 1 2 3 4 5 + 1 2 (ℤ3,+) (ℤ6,+)

+ 3 1 4 2 5 + 1 2 (ℤ3,+) (ℤ6,+)

+ 3 1 4 2 5 + 1 2 (ℤ3,+) (ℤ6,+)

+ 1 2 3 + 1 2 3 (ℤ4,+) (ℤ4,+)

+ 2 1 3 + 1 2 3 (ℤ4,+) (ℤ4,+)

+ 2 1 3 + 1 2 3 (ℤ4,+) (ℤ4,+)

(ℤ4,+) ({1,i,1,i},) + 1 2 3  1 i 1 i f f(n) = in 1 i -1 -i 1 2 3 f(0) = i0 = 1 f(1) = i1 = i f(2) = i2 = -1 f(3) = i3 = -i

(ℤ4,+) ({1,i,1,i},) + 1 2 3  1 i 1 i 1 + 2 = 3 f(1) · f(2) = f(3) i  (-1) = -i f(1) · f(2) = f(1+2) f(a) · f(b) = f(a+b) para todo a,bℤ4

(ℤ4,+) ({1,i,1,i},) + 1 2 3  1 i 1 i f(a) · f(b) = f(a+b) para todo a,bℤ4 f(a) · f(b) = ia · ib = ia+b = f(a+b)

(ℤ3,+) (ℤ6,+) + 1 2 + 1 2 3 4 5 ℤ3 f ℤ6 1 2 3 4 5 1 2 f(n) = 2n

f(n) es el resto que se obtiene al dividir por 3 (ℤ6,+) (ℤ3,+) + 3 1 4 2 5 + 1 2 ℤ6 f ℤ3 1 2 3 4 5 1 2 f(n) es el resto que se obtiene al dividir por 3

f es un homomorfismo de grupos entre G y G’ si se cumple que (G,) y (G’ ,∘) grupos f : G  G’ función f es un homomorfismo de grupos entre G y G’ si se cumple que f(a  b) = f(a) ∘ f(b)

f es un homomorfismo de grupos entre G y G’ si se cumple que (G,) y (G’ ,∘) grupos f : G  G’ función f es un homomorfismo de grupos entre G y G’ si se cumple que f(a  b) = f(a) ∘ f(b) Si f es inyectiva entonces es un monomorfismo de grupos entre G y G’

f es un homomorfismo de grupos entre G y G’ si se cumple que (G,) y (G’ ,∘) grupos f : G  G’ función f es un homomorfismo de grupos entre G y G’ si se cumple que f(a  b) = f(a) ∘ f(b) Si f es sobreyectiva entonces es un epimorfismo de grupos entre G y G’

f es un homomorfismo de grupos entre G y G’ si se cumple que (G,) y (G’ ,∘) grupos f : G  G’ función f es un homomorfismo de grupos entre G y G’ si se cumple que f(a  b) = f(a) ∘ f(b) Si f es biyectiva entonces es un isomorfismo de grupos entre G y G’

f es un homomorfismo de grupos entre G y G’ si se cumple que (G,) y (G’ ,∘) grupos f : G  G’ función f es un homomorfismo de grupos entre G y G’ si se cumple que f(a  b) = f(a) ∘ f(b) Si G = G’ entonces es un endomorfismo

f es un homomorfismo de grupos entre G y G’ si se cumple que (G,) y (G’ ,∘) grupos f : G  G’ función f es un homomorfismo de grupos entre G y G’ si se cumple que f(a  b) = f(a) ∘ f(b) Si G = G’ y f es biyectiva entonces es un automorfismo

Ker(f)  Kernel o Núcleo de f Im(f) = {yG’ : y = f(x) donde xG } (G,) y (G’ ,∘) grupos f : G  G’ homomorfismo Ker(f)  Kernel o Núcleo de f Ker(f) = {xG : f(x) = e} Im(f)  Imagen de f Im(f) = {yG’ : y = f(x) donde xG }

(ℤ3,+) (ℤ6,+) + 1 2 + 1 2 3 4 5 + 1 2 3 4 5 ℤ3 f ℤ6 1 2 3 4 5 1 2 Ker(f) = {0} Im(f) = {0,2,4}

(ℤ6,+) (ℤ3,+) ℤ6 ℤ3 + 3 1 4 2 5 + 1 2 f 1 2 3 4 5 1 2 Ker(f) = {0,3} 3 1 4 2 5 + 1 2 ℤ6 f ℤ3 1 2 3 4 5 1 2 Ker(f) = {0,3} Im(f) = {0,1,2}

(ℤ4,+) ({1,i,1,i},) + 1 2 3  1 i 1 i Homomorfismo f(n) = in Ker(f) = {0} Im(f) = {1,i,1,i}

(ℤ4,+) (ℤ4,+) + 2 1 3 + 1 2 3 f 1 2 3 1 2 3 Ker(f) = {0,2} Im(f) = 2 1 3 + 1 2 3 f 1 2 3 1 2 3 Ker(f) = {0,2} Im(f) = {0,2}