RESOLUCIÓN DE SISTEMAS U.D. 1 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN U.D. 1.6 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN Es similar al método de Gauss. Se emplea en la resolución de sistemas lineales de tantas ecuaciones como incógnitas. Se emplean las mismas reglas de sistemas equivalentes que en el Método de Gauss. OBJETIVO: Conseguir que los coeficientes de la diagonal principal de un sistema sean unos y el resto de los coeficientes valgan cero. Sea: a.x + b.y + c.z = d a´.x + b’.y + c’.z = d’ a”.x + b”.y + c”.z = d” Opero mediante el Método de Gauss, obteniendo: a.x + b.y + c.z = d + e.y + f.z = g h.z = j @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN Aplico la ampliación de Jordan: Resto a la 2º fila la 3º fila multiplicada por f / h Resto a la 1º fila la 3º fila multiplicada por c / h Queda: a.x + b.y = k + e.y = p h.z = j Resto a la 1º fila la 2º fila multiplicada por b / e a.x = q  x = q / a e.y = p  y = p / e h.z = j  z = j / h @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Ejemplo 1 Sea: x - y = 1 - x + 2 y = 2 F2 = F2 + F1 Queda: x - y = 1 y = 3 y tengo casi resuelto por Gauss F1 = F1 + F2 Y obtengo: x = 4 y = 3 y tengo resuelto por Gauss-Jordan La solución del sistema será: x = 4 y = 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Ejemplo 2 Sea: x - y + z = 1 - x + 2 y + z = 2 3.x – 2.y - z = 0 Aplicando el Método de Gauss: x - y + z = 1 y + 2.z = 3 -6.z = -6 Aplicando Gauss-Jordan: F1=F1+F2 x 3z = 4 y + 2.z = 3 -6.z = -6 F1=F1+F2 / 2 x = 1 Por último: F2=F2+F3 / 3 x = 1 y = 1 -6.z = -6 Queda: x = 1 y = 1 -6.z = -6  z = 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Ejemplo 3 Sea: x - y + 2.z = 4 - 2.x + 2 y + z = 2 3.x + 5.y - z = 2 Aplicando el Método de Gauss: x - y + 2.z = 4 8.y - 7.z = - 10 5. z = 10 Aplicando Gauss-Jordan: F1=F1 + F2 / 8 x + (9/8).z = 11/4 8.y - 7.z = - 10 5. z = 10 F1=F1 – F3.(9/8)/5 x = 1/2 Finalmente: F2=F2 + F3.7/5 x = ½ 8.y = 4 5. z = 10 Queda: x = - 1501/36  8.y = 4  y = 4/8 = ½ 5. z = 10  z = 10/2 = 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Ejemplo 4 Sea: 3x - 6y + 2.z = 4 - 2.x + 2 y + z = 0 5.x + 5.y - z = 13 Aplicando el Método de Gauss: x - 2y + 2/3. z = 4/3 - 2y + 7/3. z = 8/3 79/6.z = 158/6 Aplicando Gauss-Jordan: F1 = F1 – F2: x - 5/3. z = - 4/3 F1 = F1 + F3.(5/3)/(79/6): x = 2 - 2y + 7/3. z = 8/3 79/6 z = 158/6 Y finalmente: F2 = F2 + F3.(7/6)/(79/30): x = 2 - 2y = - 2 79/6 z = 158/6 Quedando: x = 2 -2y = -2  y = 1 79/6.z = 158/6  z = 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Gauss-Jordan con parámetro Resuelve por el método de Gauss-Jordan el sistema: x + 2y + 4z + 10 = 0 – 2x – 3y + z = 6 4x + 5y + az = 8 Normalizo el sistema que me dan: x + 2.y + 4.z = – 10 – 2.x – 3.y + z = 6 4.x + 5.y + a.z = 8 Aplico el método de Gauss: F2=F2 + 2.F1 y F3 = F3 – 4.F1 , simultáneamente: x + 2.y + 4.z = - 10 + y + 9.z = - 14 - 3.y + (a – 16).z = - 32 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. F3 = F3 + 3.F2 x + 2.y + 4.z = - 10 + y + 9.z = - 14 (a +11).z = - 74 Ya está escalonado. Sigo con la ampliación de Jordan: F1 = F1 – 2.F2 x – 14z = 18 + y + 9.z = - 14 F1 = F1 + 14.F3 /(a+11): x = 18 + 14.(-74)/(a+11) Y finalmente: F2 = F2 – 9.F3 /(a+11): + y = - 14 – 9.(-74)/(a+11) Y Si (a+11)=0  Sistema incompatible Luego a = - 11 para que el sistema sea incompatible. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Realizado Gauss-Jordan tengo: x = 18 + 14.(-74)/(a+11) + y = - 14 – 9.(-74)/(a+11) (a +11).z = - 74 Operando: x= (18·a – 838) / (a+11) y= (– 14·a + 512) / (a+11) z= – 74 / (a+11) Si (a+11)=0  Sistema incompatible Si a = - 11 el sistema es Incompatible. Si a <> - 11 el sistema es Compatible y Determinado. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Gauss-Jordan con parámetro Resuelve por el método de Gauss-Jordan el sistema: 3x – 3y + 12z = a – 3x – 6y + 10z = – 2 9x + 4y – 2z = 6 Aplico el métodos de Gauss: Operaciones: F2=F2+F1 y F3=F3 – 3.F1 , simultáneamente: – 9y + 22z = 2 13y – 38z = - 6 Operaciones: F2=F2:9 y F3=F3:13 – y + 2,44z = 0,22 y – 2,9230z = - 0,4615 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Sumando F3=F3+F2 3x – 3y + 12z = a – y + 2,44z = 0,22 – 0,4830z = - 0,2415 F1 dividida entre 3 y F3 dividida entre – 0,4830 x – y + 4.z = a/3 – y +2,44.z = 0,22 z = 0,5 El sistema es Compatible y Determinado (j=1, h=0,5). Operaciones: F2=F2 – 2,44.F3 y F1=F1 – 4.F3 x – y = a/3 – 2 – y = – 1 z = 0,5 Sumando F1=F1 – F2 x = a/3 – 1  x = (a – 3)/3 – y = – 1  y = 1 z = 0,5  z = 1/2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.