Unidad 4. Capítulo IV. El Wronskiano de funciones.

U-4. Cap. IV. El Wronskiano de funciones. La expresión C1y1 + C2y2, en donde las constantes C1 y C2 son arbitrarias es una combinación lineal de las funciones y1 y y2. Se dice que dos funciones son linealmente dependientes en un intervalo x1 < x < x2 si una función es un múltiplo constante de la otra para todo x en ese intervalo. En caso contrario, se dice que son linealmente independientes. Es decir, dos funciones son linealmente dependientes en un intervalo si el cociente de ellas es una constante en ese intervalo. En caso contrario se dice que son linealmente independientes.

U-4. Cap. IV. El Wronskiano de funciones. Por ejemplo, las funciones y1 = x y y2 = 1 son linealmente independientes ya que y1/y2 = x/1 = x (variable); pero las funciones 5x y 2x son linealmente dependientes ya que 5x/(2x) = 2.5 (constante). La independencia lineal puede expresarse formalmente en la forma siguiente: Se dice que dos funciones y1 y y2 son linealmente independientes en un intervalo x1 < x < x2 si la ecuación: se satisface para todas las x en ese intervalo sólo cuando C1 = C2 = 0.

U-4. Cap. IV. El Wronskiano de funciones. La determinación de dependencia o independencia lineal entre funciones mediante su cociente no funciona en caso de tres o más funciones. En estos casos, es necesario disponer de un procedimiento sistemático que determine la independencia lineal: el Wronskiano. Considere dos funciones derivables y1 y y2. Ambas son linealmente independientes en un intervalo si la ecuación: se satisface para todas las x en ese intervalo sí y sólo sí, C1 = C2 = 0.

Ahora al derivar esta ecuación se obtiene: U-4. Cap. IV. El Wronskiano de funciones. Ahora al derivar esta ecuación se obtiene: Estas dos ecuaciones forman un sistema del que se pueden obtener C1 y C2, en la forma siguiente: Se multiplica la primera ecuación por y’2 y la segunda por y2 y se restan, obteniéndose: Mientras que, al multiplicar la primera ecuación por y’1 y la segunda por y1, restando se llega a:

U-4. Cap. IV. El Wronskiano de funciones. En ambas ecuaciones aparece el factor y1y’2  y’1y2, que si es distinto de cero, la única manera de satisfacer ambas ecuaciones es C1 = C2 = 0. Para simplificar el uso con cualquier número de funciones, este factor se expresa en la forma del determinante: La función W(y1, y2) se llama el Wronskiano de y1 y y2, tal nombre se debe al matemático polaco J.M. Wronski.

entonces y1 y y2 son linealmente independientes. Si U-4. Cap. IV. El Wronskiano de funciones. Así, la dependencia y la independencia lineales de dos funciones pueden definirse, con ayuda de su Wronskiano, en la forma siguiente: Dos funciones dadas son linealmente dependientes en un intervalo si su Wronskiano es cero para todas las x en ese intervalo. De no ser así, son linealmente independientes. entonces y1 y y2 son linealmente independientes. Si Observe que el Wronskiano puede ser cero para algunos valores de x y diferente a cero para otros en un intervalo dado. Para ser y1 y y2 linealmente dependientes, W(y1, y2) = 0,  x.

Ejemplos: Calcule el Wronskiano de los siguientes pares de funciones: U-4. Cap. IV. El Wronskiano de funciones. Como se verá adelante, el Wronskiano juega un importante papel en la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales. Ejemplos: Calcule el Wronskiano de los siguientes pares de funciones: a) b) Por lo tanto, las funciones sen x y cos x son linealmente independientes, mientras que las funciones x3 y 2x3 son linealmente dependientes.

Sea la combinación lineal de n funciones y1, y2, . . . , yn: U-4. Cap. IV. El Wronskiano de funciones. El estudio de las ecuaciones de orden superior exige la determinación de la independencia lineal de más de dos funciones, por lo que es necesario extender el concepto de Wronskiano a un conjunto de n funciones. Sea la combinación lineal de n funciones y1, y2, . . . , yn: con constantes arbitrarias C1, C2, . . . , Cn. Entonces: Las funciones y1, y2, . . . , yn son linealmente independientes en un intervalo x1 < x < x2 si la ecuación: se satisface  x en ese intervalo sólo cuando C1 =  = Cn = 0.

U-4. Cap. IV. El Wronskiano de funciones. Un procedimiento para determinar la independencia lineal de un conjunto de n funciones dadas incluye la evaluación de su Wronskiano, en la forma. n funciones y1, y2, ..., yn, cada una de ellas con derivadas (n  1)ésimas en un intervalo x1 < x < x2 son linealmente independientes en este intervalo si su Wronskiano no es idénticamente cero en ese intervalo.

U-4. Cap. IV. El Wronskiano de funciones. Observe que el Wronskiano es una función de x, por lo que la dependencia lineal requiere que sea cero para todas las x. Es decir, debe ser idénticamente cero. Ejemplo. Determine si las funciones 5, 3x y cos x son linealmente independientes o no, en todo el eje x. Solución: Como el Wronskiano no es idénticamente cero, estas tres funciones son linealmente independientes.