VECTORES Juan Daniel Fregoso Rubio. 16310124. 1-B. Ingeniería Industrial. Estatica. Profesor: Cesar Octavio Martinez Padilla

Vectores en el plano cartesiano Un vector en el plano cartesiano está determinado por las coordenadas de sus puntos inicial y final: A (x1, y1) ; B (x2, y2) Ux= x2 - x1 ; Uy= y2 - y1 u = AB = (Ux, Uy) El vector u se denomina vector posición o vector libre dado que su punto inicial es (0,0).

Vectores en el plano cartesiano La magnitud de un vector en el plano cartesiano está dada por: La dirección de un vector en el plano cartesiano está dada por:

Vectores Unitarios La idea de vector unitario refiere al vector cuyo módulo es igual a 1. Cabe recordar que el módulo es la cifra coincidente con la longitud cuando el vector se representa en un gráfico. El módulo, de este modo, es una norma de la matemática que se aplica al vector que aparece en un espacio euclídeo. El vector unitario, también conocido como vector normalizado, es aquel cuyo módulo (y su longitud en la representación gráfica) equivale a 1. Es posible obtener el producto interno o producto escalar de dos vectores unitarios averiguando el coseno del ángulo que se forma entre ellos. El producto de un vector unitario por un vector unitario, de este modo, es la proyección escalar de uno de los vectores sobre la dirección establecida por el otro vector.

Vectores Unitarios

Ángulos Directores 1) El ángulo (abertura) que forma el vector con los ejes positivos X y Y del plano cartesiano. 2) Están comprendidos entre 0 y 180 grados 3) No existe convención para el giro de los ángulos directores. 4) Los ángulos directores en el plano son: α es el que forma el vector con el eje positivo de las X β es el que forma el vector con el eje positivo de las Y

Ángulos Directores La orientación de A es definida por los ángulos coordenados de dirección α, β y γ medidos entre la cola de A y los ejes x, y, z positivos localizados en la cola de A, en la figura. Advierta que independientemente de hacia donde esté dirigido A, cada uno de esos ángulos estará entre 0 y 180 grados. Para determinar α, β y γ se considera la proyección de A sobre los ejes x, y, z con referencia en los triángulos rectos.

Ángulos Directores Estos números se conocen como cosenos directores de A. Una vez obtenidos, los ángulos directores coordenados α, β y γ, pueden ser determinados por los cosenos entonces por los cosenos inversos.

Vector de posición En mecánica clásica, debido al carácter euclídeo del espacio, la posición de una partícula se representa mediante el vector de posición o radio vector, usualmente simbolizado con la letra r o mediante las coordenadas del punto geométrico del espacio en el que se encuentra la partícula. La diferencia del vector posición entre dos posiciones distintas recibe el nombre de vector desplazamiento y se le designa por ∆r (desplazamiento finito) o por {\displaystyle d\mathbf dr (desplazamiento infinitesimal).

Vectores de posición Podemos representar la posición de una partícula o de un punto del espacio, respecto de un sistema de ejes, mediante las coordenadas cartesianas (x,y,z) del punto, o mediante el vector de posición de dicho punto respecto al origen "O" del sistema de coordenadas (Figura 1). Dicho vector de posición se define como el vector que tiene como origen el punto "O" y como extremo el punto "P", es decir, el vector aplicado en el punto "O" que tiene como componentes las coordenadas cartesianas x, y, z, del punto "P". Escribiremos siendo i, j, k los versores asociados a los ejes coordenados respectivos. En general, un sistema de referencia queda definido por un origen y una base vectorial asociada. Si la base vectorial es ortogonal (i.e., si los tres versores que la definen son perpendiculares entre sí), el sistema de referencia también es ortogonal.

Producto Escalar En matemática, el producto escalar, también conocido como producto interno, producto interior o producto punto, es una aplicación cuyo dominio es V 2 y su codominio es K, donde V es un espacio vectorial y K el conjunto de los escalares respectivo.1 Esta aplicación amplía la oportunidad de emplear los conceptos de la geometría euclídea tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.

Producto escalar El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva. Un producto escalar se puede expresar como una expresión: en donde V es un espacio vectorial y K es el cuerpo sobre el que está definido V. La función <.,.> (que toma como argumentos dos elementos de V, y devuelve un elemento del cuerpo K.

Ley de senos La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos (oblicuos). Simplemente, establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado. En ∆ABC es un triángulo oblicuo con lados a, b y c, entonces

Ley de cosenos c2 = a2 + b2 – 2abcos C. La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de un triángulo oblicuo (no rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluído son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas. En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de los senos porque no podemos establecer una proporción que pueda resolverse. La ley de los cosenos establece: c2 = a2 + b2 – 2abcos C.