DERIVADA DE UNA FUNCION IMPLICITA Y2 + X2 = 1 ES FUNCION ? PARA DISTINGUIR UNA FUNCION EXPLICITA, ES NECESARIO DESPEJAR DE LA ECUACION UNA DE LAS VARIABLES Y DEFINIR UNA VARIABLE EN FUNCION DE LA OTRA. Y2 = ( 1 – X2 ) Y1 = + √ ( 1 – X2 ) FUNCION EXPLICITA Y = ± √ (1 – X2 ) Y2 = - √ ( 1 – X2 ) FUNCION EXPLICITA PODEMOS DEFINIR TAMBIEN DE LA ECUACION Y2 +X2 = 1, LA VARIABLE X EN TERMINOS DE Y. X2 = ( 1 – Y2 ) X1 = + √ ( 1 – Y2 ) X = ± √ (1 – Y2 ) X1 = - √ ( 1 – Y2 ) KUPESA - UAE -2004

EJEMPLOS: x3 + y3 = 6xy HOJA DE DESCARTES Cómo podremos derivar esta función?? Para poder derivarla es necesario que se defina la variable de trabajo en términos de la otra. ( ver pagina 71 del libro) RECORDAR LA DERIVADA FUNCIONAL Y‘(X) = F‘(X) = DF(x) = dy / dx Al definir y en términos de x : x3 + y3 (x)= 6xy(x) lo que significa que y(x) es una función implícita con respecto a x KUPESA - UAE -2004

De lo anterior podemos concluir que F esta definida implícitamente por una ecuación si y solo si, al sustituir Y por F(x)= Y(x) se llega a una identidad y que Y(x) puede ser una de las muchas funciones definidas en el dominio de la función implícita. Ejercicios . Derivar implícitamente las siguientes funciones, ASUMIENDO a) Y en términos de X : X‘( y ) ?? b) X en términos de Y : Y‘( x ) ?? y2 + x2 = 9 Y4 – x2y + Ln (xy) = 1/5 X3 + y3 = 6xy SOLUCION: y2 + x2 = 9 y2(x) + x2 = 9 se define “y” en función de “x” para poder derivarla como una suma de funciones explicitas. 2y(x) y‘(x) + 2x = 0 y‘(x) = - 2x / 2y(x) y‘(x) = -x / y(x) KUPESA - UAE -2004

4y3 dy – ( 2xydx + x2dy ) +[(ydx + xdy) / xy ] = 0 CONCLUSION: Si Y‘(X) = F‘(X) = DF(x) = (dF(x) / dx ) = ( dy / dx) F'(X) = dF(x) DERIVADA FUNCIONAL F'(x) dx = dF(x) DIFERENCIALFUNCIONAL dx POR EJEMPLO, PARA LA FUNCION Y4 – x2y + Ln (xy) = 1/5, UTILIZANDO NOMENCLATURA DEL DIFERENCIAL, DETERMINAR EL dy / dx. y4 – x2y + Ln (xy) = 1/5 4y3 dy – ( 2xydx + x2dy ) +[(ydx + xdy) / xy ] = 0 4y3 dy – x2dy +[ xdy / xy ] = 2xydx – ( ydx / xy ) [4y3 – x2 + x / xy ] dy = [ 2xy – ( y/ xy ) ] dx dy = [ 2xy – ( y/ xy ) ] = [ 2xy – ( 1 / x ) ] dx [4y3 – x2 + x / xy ] [4y3 – x2 + 1 / y ] KUPESA - UAE -2004

ANTIDERIVADA o ANTIDIFERENCIAL FUNCIONAL UNA ECUACION QUE COMPRENDE LAS DERIVADAS DE UNA FUNCION SE LLAMA , ECUACION DIFERENCIAL. EL ANTIDIFERENCIAL O ANTIDERIVADA FUNCIONAL ES LA OPERACIÓN CONTRARIA A DERIVAR. SI RECORDAMOS EL CONCEPTO DE LA DERIVADA FUNCIONAL : dF( x ) = F‘(x) = df(x) / dx dF( x ) = F‘(x) dx = df(x) PARA IDENTIFICAR LA OPERACION CONTRARIO A DERIVAR, SE UTILIZA UN OPERADOR LLAMADO OPERADOR DEL ANTIDIFERENCIAL QUE EXPRESA COMO EL PRODUCTO DE SU DERIVADA POR LA DIFERENCIAL VARIABLE DE DEFINICION : ∫dF( x ) = ∫ F‘(x) dx = ∫ f(x) dx = F(x) + C KUPESA - UAE -2004

INTEGRAL INDEFINIDA LA COLECCIÓN DE TODAS LAS FUNCIONES PRIMITIVAS DE LA FUNCION f(x) , ES CONOCIDA COMO LA INTEGRAL INDEFINIDA DE f CON RESPECTO DE “x” , DENOTANDOLA CON EL OPERADOR DE LA ANTIDIFERENCIAL O ANTIDERIVADA. ES DECIR, UNA SOLA FUNCION TIENE MUCHAS PRIMITIVAS MIENTRAS QUE UNA FUNCION SOLO PUEDE TENER UNA DERIVADA. “ SI F(x) ES UNA PRIMITIVA DE f(x) EN EL INTERVALO I, ENTONCES TODA PRIMITIVA DE f(x) EN EL INTERVALO ES DE LA FORMA F(x) + C , DONDE C ES UNA CONSTANTE ARBITRARIA “. POR EJEMPLO SI CONSIDERAMOS LA FUNCION : F(x) = X 3 f(x)= F‘(x) = 3x2 G(x) = X 3 - 5 g(x)= G‘(x) = 3x2 F(X) + C J(x) = X 3 + 1/2 j(x)= J‘(x) = 3x2 FUNCION PRIMITIVA KUPESA - UAE -2004

∫dF( x ) = ∫ F‘(x) dx = ∫ f(x) dx = F(x) + C EJEMPLOS: DETERMINAR LA INTEGRAL INDEFINIDA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES: F(x) = 2x ∫dF( x ) = ∫ F‘(x) dx = ∫ f(x) dx = F(x) + C F(x) = 2x + 5 F(x) = x 2 F(x) = x n F(x) =Cos (x) ∫dF( x ) = ∫ F‘(x) dx = ∫ f(x) dx = F(x) + C KUPESA - UAE -2004

TECNICAS DE INTEGRACION TEOREMAS Y/O PROPIEDADES DE LA ANTIDERIVADA: ∫dF( x ) = ∫ F‘(x) dx = ∫ f(x) dx = F(x) + C ∫dF( x ) = ∫ ( g(x) ± j(x) ) dx = ∫ g(x) dx ± ∫ j(x) dx ∫dF( x ) = ∫ Kf(x) dx = K ∫ f(x) dx ∫dF( x ) = ∫ xn dx = [ x n + 1 / (n + 1) ] + C METODO DE INTEGRACION POR GENERACION DE SIGNO Y/O CONSTANTE METODO DE INTEGRACION POR INDUCCION METODO DE INTEGRACION POR CAMBIO DE VARIABLE METODO DE INTEGRACION POR PARTES ( ILATE ) METODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES METODO DE INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA METODO DE INTEGRACION POR TABLAS Y/O PROG DIGITALES A.C. ( SOFTWARE ) KUPESA - UAE -2004

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO INTEGRAL: (ver pagina 86 de texto de MAT II ) SI m tg = F'( x ) = LimΔx→0 [ Δy / Δx ] F'( x ) Δx = LimΔx→0 ( Δy) = Δy F'( x ) dx = dy ∫f( x ) dx = ∫dy = y(x) = F(x ) ∴ F'(x)= f (x) x = b x = b ∫f (x) dx = [ f( x )] x = a x = a x = b ∫f (x) dx = ( f( b) – f(a) ) x = a KUPESA - UAE -2004

INTEGRAL DEFINIDA Ξ AREA Este es el valor del integral definido, que se obtiene al evaluar el TFC. De lo anterior podemos definir que : KUPESA - UAE -2004

F(x) : FUNCION DE TRABAJO AREAS BAJO LA CURVA F(x) : FUNCION DE TRABAJO LIMITANTE DERECHA . h LIMITANTE IZQ. b X KUPESA - UAE -2004