PROBABILIDAD U. D. 15 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

PROBABILIDAD COMPUESTA U. D. 15.3 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Técnicas de recuento En el cálculo de probabilidades necesitamos hacer un recuento de todos los posibles casos que puedan acontecer o sucesos. En los casos simples nos basta con hallar el espacio muestral, donde aparecen todos los sucesos posibles. En algunos sucesos simples y en la mayoría de los sucesos compuestos, necesitamos técnicas de recuento de datos (sucesos) más potentes. Son principalmente cuatro las técnicas utilizadas: 1.- Tablas de contingencia, que veremos ahora. (Tablas que van a contener todos los casos posibles de un experimento). 2.- Diagrama de árbol, que veremos después. (Llamado así por su forma y de una gran efectividad) 3.- Diagrama de Venn. (En forma de círculos o cuadrados conteniendo los sucesos simples, utilizados cuando hay dos o más sucesos compatibles entre sí.) 4.- Combinatoria. (Recuento de datos para situaciones donde calcular el espacio muestral de un suceso sea tedioso o de gran dificultad). @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Tablas de contingencia Son muy usadas en problemas donde se precisa organizar los datos para calcular probabilidades. Suelen ser de doble entrada y cada celda contener el número de sucesos simples que cumplen dos o más condicionantes. En general los sucesos a trabajar de cada celda son incompatibles con los de cualquier otra celda, aunque estén relacionados. Ejemplo_1 En la presente tabla de contingencia, hallar la probabilidad de que elegido un alumno al azar, este sea: a) Chico. b) Chica. c) Chico en ESO d) Chica en ESO e) Chico en Bachillerato d) Chica en Bachillerato. d) Alumno en ESO e) Alumno en Bachillerato Chico Chica ESO 145 130 275 BACH 50 75 125 195 205 400 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Tablas de contingencia Resolución a) Chico. P(A)=195/400=0,4875 b) Chica. P(B)=205/400=0,50125 c) Chico en ESO P(C)=145/400=0,3625 d) Chica en ESO P(D)=130/400=0,325 e) Chico en Bachillerato P(E)=50/400=0,125 f) Chica en Bachillerato. P(F)=74/400=0,185 Chico Chica ESO 145 130 275 BACH 50 75 125 195 205 400 Resolución g) Alumno en ESO P(G)=275/400=0,6875 h) Alumno en Bachillerato P(H)=125/400=0,3125 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Tablas de contingencia Ejemplo_2 En la presente tabla de contingencia sobre la dedicación preferente del tiempo libre de los alumnos de un instituto, hallar la probabilidad de que: a) P(A) = P(Sea chico y se dedique al deporte). b) P(B) = P(Sea chica y se dedique a la lectura o los juegos). c) P(C) = P(Se dedique a ver Cine/TV). d) P(D) = P(Se dedique a la música). Resolución P(A)= 60/400 = 0,15 P(B)=45/400 + 10/400 = =55/400 = 0,1375 P(C)= 60/400=0,15 P(D)=175/400 =0,4375 Chico Chica Música 55 120 175 Deporte 60 15 75 Lectura 20 45 65 Juegos 15 10 25 Cine/TV 45 15 60 195 205 400 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Experimentos y Tablas xi fi hi pi 16 16/16 EJEMPLO 1: Experimento Se lanza al aire dos dados tetraédricos NO TRUCADOS. ¿Cuál es la probabilidad de obtener como suma un 7?. Tras el recuento de casos en la Tabla de contingencia, aplicando Laplace, Tenemos que P(7) = 2/16 = 0,1250 P(7) = 12,50 % xi fi hi pi 2 1 1/16 0,0625 3 2/16 0,1250 4 3/16 0,1875 5 4/16 0,2500 6 7 8 16 16/16 1 2 3 4 5 6 7 8 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Experimentos y Tablas EJEMPLO 2. Experimento Se lanza al aire dos dados hexaédricos NO TRUCADOS. ¿Cuál es la probabilidad de obtener como suma un 7?. ¿Y un 12?. P(7) = 16,67%; P(12) = 2,78% xi ni fi pi 2 1 1/36 0,027777 3 2/36 0,055555 4 3/36 0,083333 5 4/36 0,111111 6 5/36 0,128888 7 6/36 0,166666 8 9 10 11 12 36 36/36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Experimentos y Tablas xi ni fi pi 24 24/24 EJEMPLO 3: Experimento Se lanza al aire dos dados uno tetraédrico y otro hexaédrico. ¿Cuál es la probabilidad de obtener como resta un 0?. Tras el recuento de casos en la Tabla de contingencia, aplicando Laplace, Tenemos que P(0) = 4/24 = 0,1667 P(7) = 16,67 % xi ni fi pi 4 4/24 0,166667 1 7 7/24 0,291667 2 6 6/24 0,250000 3 2/24 0,083333 5 1/24 0,041667 24 24/24 1 2 3 4 5 6 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Diagrama de Venn UNIÓN EN SUCESOS COMPATIBLES Cuando dos o más sucesos son compatibles (se pueden dar a la vez) ya hemos dicho que: P(AUB)=P(A)+P(B) – P(A).P(B) Ello es así porque si no restamos el producto, los elementos comunes estarían repetidos. El producto simboliza a los elementos comunes. Ejemplo 1 Hallar la probabilidad de que al extraer una carta de una baraja el resultado sea un oro o un rey. P(O)=10/40=0,25 P(R) =4/40=0,1 P(OUR)=P(O)+P(R) - P(O).P(R) P(OUR)=0,25+0,1 – 0,25.0,1 P(OUR)=0,35 – 0,025 P(OUR)=0,325 1 2 3 Rc 4 5 Re 7 Ro Rb So Co @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Diagrama de Venn FAMILIA A FAMILIA B FAMILIA C Ejemplo 2 Una vivienda rural es compartida por tres familias, A, B y C. Ocupan el 55%, el 40% y el 30% de la vivienda respectivamente. Hay espacios comunes a dos y a las tres familias. Hallar la probabilidad de que eligiendo un lugar al azar: a) Coincidan A y B b) Coincidan A y C c) Encontremos B o C d) Encontremos A o C e) Encontremos A, B o C FAMILIA A FAMILIA B FAMILIA C @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

P(BUC)=P(B)+P(C) – P(B).P(C)= 0,40+0,30 – 0,40.0,30 =0,58 Resolución Aunque no nos lo hubiera indicado el enunciado, hay zonas comunes, pues en total no pueden ocupar el 55+40+30 =125% de la vivienda. a) Coincidan A y B P(A∩B)=P(A).PB)= 0,55.0,40=0,22 b) Coincidan A y C P(A∩C)=P(A).P(C)= 0,55.0,30=0,165 c) Encontremos B o C P(BUC)=P(B)+P(C) – P(B).P(C)= 0,40+0,30 – 0,40.0,30 =0,58 d) Encontremos A o C P(AUC)=P(A)+P(C) – P(A).P(C)= 0,55+0,30 – 0,55.0,30 =0,685 e) Encontremos A , B o C P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C) – P(A).P(B) – P(B).P(C) – P(A).P( C) + + P(A).P(B).P(C) = = 0,55+0,4+0,30 – 0,22 – 0,12 – 0,165 + 0,55.0,4.0,30 = 0,811 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.