Función Inversa Prof. Mayra Alonso F-1(x) = 3x G-1(x) = x3

Prerrequisitos Definir el concepto de función Hallar el domino y alcance de una función Despejar una ecuación para una variable Trazar gráficas de funciones Reconocer las funciones básicas Determinar la composición de funciones

Objetivos Definir una función inversa. Calcular la inversa de una función. Trazar la gráfica de una función y su inversa. Determinar si G es la inversa de una función F

Concepto de función inversa A veces en matemáticas deseamos deshacer una operación. Por ejemplo, si comenzamos con el número 2 , le sumamos 4 y ese no era el número que queríamos sumar, ¿cómo regresamos al 2? Sencillamente le restamos el 4 y obtenemos nuestro número 2. Cuando tenemos una función, un elemento del dominio lo asociamos con un elemento del alcance. ¿Habrá alguna manera de saber el elemento del dominio si nos dan un elemento del alcance?  

Ejemplo Alcance 6 Dominio 3 8 4 La función que se muestra indica que con cada número del dominio se asocia el doble del número. Suponga que nos dan un elemento del alcance digamos el 8. ¿Cómo obtenemos el 4? Note que para obtener los elementos del dominio necesito dividir cada elemento del alcance entre dos. La función que debo utilizar es:

Observaciones Dominio Alcance 6 3 8 4 Note que el dominio de G es el alcance de la función F y que el alcance de G es el domino de F. Es decir, se intercambiaron el dominio y el alcance en la función G. Eso implica que si el par ordenado (3,6) pertenece a la función F entonces el par (6,3) pertenece a G.

Definición Sea f una función. Decimos que g es la función inversa de f, y la denotamos por el símbolo f -1, si se cumplen las siguientes dos condiciones:   (f o f -1)(x) = x (f -1 o f) (x) = x Note que al ejecutar ambas funciones sobre x regresamos al valor de x Recuerde la operación de composición

Observaciones No todas las funciones poseen una función inversa. Por ejemplo, f(x) = x2 no tiene función inversa. Veamos por que. -2 2 F(x) = x2 4 En esta función tanto el –2 como el 2 se asocian con el cuatro. Cuando intentamos buscar la función inversa, ¿con quien asociamos el 4? ¿Con 2 o con –2? Note que no es una función si al 4 lo asociamos con los dos números 2 y –2. Por tanto , no existe la inversa.

Criterio para saber si una función tiene inversa Para saber si una función tiene inversa podemos llevar a cabo la prueba de la línea horizontal en la gráfica de la función. Si la línea horizontal corta dos o más puntos NO tiene función inversa. Si sólo la corta en un punto entonces tiene inversa.

Corta dos puntos en la parábola Ejemplo (-2,4) (2,4) No tiene inversa Observe que cuando una recta horizontal corta dos puntos en la gráfica implica que a dos valores del dominio le corresponden el mismo número en el alcance. Esto está en contra de la definición de función.

¿Cómo se puede lograr que una función que no tiene inversa tenga inversa? La respuesta es sencilla: restringiendo el dominio. O sea, eliminando parte del dominio. Dominio[0,) Dominio:(-,) Nueva función Note que la recta horizontal sólo corta un punto en la gráfica. Por tanto, tiene inversa. Eliminamos esta parte del dominio

Método para hallar la inversa Hemos discutido el concepto de función inversa pero no sabemos como hallar la función inversa. Con el siguiente procedimiento podemos hallar la función inversa.  

Método con un ejemplo Halle la función inversa de f(x) = 3x + 4 Escriba y en vez de f(x) Y = 3x + 4 Despeje para la variable x Intercambie la variable x con la variable y Escriba f-1(x) en vez de y

Recuerde las funciones!!! Comprobación Usando la definición de función inversa comprobaremos si en verdad conseguimos la inversa. F(x) = 3x + 4 Recuerde las funciones!!! F-1(x) =

Ejemplo Halle la función inversa de Eliminar el 3 Eliminar el radical cuadrando a ambos lados Escribir f-1(x) en vez de y Despejar para x Intercambiar la x con la y

La función inversa mediante una gráfica Función identidad y = x Observe los pares ordenados de la gráfica verde. Para construir su inversa intercambiamos los pares ordenados y podemos trazar la gráfica de la inversa la cual se muestra en rojo. Note que las gráficas son simétricas a la recta identidad. (4,18) (3,11) (2,6) (18,4) (11,3) (6,2) (0,2)

Ejercicios de Práctica Verifica los ejercicios asignados

FIN No olvides hacer las asignación