APLICACIONES DE LAS DERIVADAS U.D. 8 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S. 1 1

OBTENCIÓN FÓRMULA DE UNA FUNCIÓN U.D. 8.3 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S. 2 2

FÓRMULA MEDIANTE LAS ASÍNTOTAS Escribe una función que verifique las siguientes condiciones: a).- La recta x = 1 es una asíntota vertical. b).- La recta y = 1 es una asíntota horizontal. SOLUCIÓN Para que la recta x = 1 sea una asíntota vertical se tiene que anular el denominador. Tendrá la forma: f(x) = k /(x – 1) Para que la recta y = 1 sea una asíntota horizontal debe tener la forma: f(x) = 1 + k/x Aunando ambas expresiones: f(x) = 1 + k / (x – 1) Operando: f(x) = (x – 1 + k) / (x – 1) La función más simple será: f(x) = x / (x – 1) E1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

FÓRMULA MEDIANTE LAS ASÍNTOTAS Escribe una función que verifique las siguientes condiciones: a).- La recta x = – 2 es una asíntota vertical. b).- No hay ninguna asíntota horizontal. SOLUCIÓN Para que la recta x = – 2 sea una asíntota vertical se tiene que anular el denominador. Tendrá la forma: f(x) = k /(x + 2) Para que no halla una asíntota horizontal el numerador no debe poder simplificarse con el denominador en el infinito. Tendrá la forma: f(x) = ex / (x + 2) Pues si hallamos el límite: A.H.: y = lím [ex / (x + 2)] = +oo xoo E2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

FÓRMULA MEDIANTE LAS ASÍNTOTAS Escribe una función que verifique las siguientes condiciones: a).- Las rectas x = – 1 y x = 1 son asíntotas verticales. b).- La recta y = x es una asíntota oblicua. SOLUCIÓN Para que la recta x = – 1 y x = 1 sean asíntotas verticales se tiene que anular el denominador en dichos valores de x. Tendrá la forma: f(x) = k /(x – 1).(x + 1) Para que haya una asíntota oblicua el grado del numerador debe ser un grado mayor que el denominador, en este caso de grado tres. Tendrá la forma: f(x) = x3 / (x2 – 1) Pues si hallamos el límite: A.O.: m = lím [f(x)/x] = lím [x3 / (x3 – x)] = 1 xoo xoo E3 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

FÓRMULA MEDIANTE LAS DERIVADAS Escribe una función lineal que verifique las siguientes condiciones: a).- La derivada en x = 3 vale 2. b).- Pasa por el punto P(– 5 , 7). SOLUCIÓN La derivada de una función lineal es la pendiente, m, de dicha función. m = 2 Por la ecuación punto-pendiente: y – yo = m.(x – xo) y – 7 = 2.(x – (– 5)) y – 7 = 2.(x + 5) y – 7 = 2.x + 10 y = 2.x + 17 F(x) = 2.x + 17 E4 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

FÓRMULA MEDIANTE LAS DERIVADAS Escribe una función lineal que verifique las siguientes condiciones: a).- La derivada en x = 5 vale – 1/3. b).- Pasa por el punto origen de coordenadas. SOLUCIÓN La derivada de una función lineal es la pendiente, m, de dicha función. m = – 1/3 Por la ecuación punto-pendiente: y – yo = m.(x – xo) y – 0 = – 1/3.(x – 0) y = – 1/3.x F(x) = – x / 3 E5 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

FÓRMULA MEDIANTE LOS PUNTOS SINGULARES Escribe una función cuadrática que verifique las siguientes condiciones: Presenta un máximo relativo en el punto Max(2, 14). EJEMPLO Sea la función pedida: y = – x2 + b.x + c, pues debe ser convexa para que tenga un máximo relativo. x = 2 es el máximo, que está en el vértice. x = - b /2.a  2 = - b /2.(-1)  2 = b / 2  b = 4 Por pasar por el punto (2, 14) 14 = – 22 + 4.2 + c 14 + 4 – 8 = c 10 = c F(x) = – x2 + 4.x + 10 E6 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

FÓRMULA MEDIANTE LOS PUNTOS SINGULARES Escribe una función cuadrática que verifique las siguientes condiciones: Presenta un mínimo relativo en el punto Mín(3,– 2). EJEMPLO Sea la función pedida: y = x2 + b.x + c, pues debe ser cóncava para que tenga un mínimo relativo. x = 3 es el mínimo, que está en el vértice. x = - b /2.a  3 = - b /2.1  3 = - b / 2  b = – 6 Por pasar por el punto (3 , – 2) – 2 = 32 – 6.3 + c – 2 – 9 + 18 = c 7 = c F(x) = x2 – 6.x + 7 E7 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

FÓRMULA MEDIANTE LOS PUNTOS SINGULARES Escribe una función cúbica que verifique las siguientes condiciones: a) Presenta un mínimo relativo en el punto Mín(2 , 0). b) Pasa por el punto (0,0) EJEMPLO Sea la función pedida: y = x3 + b.x2 + c.x + d. Por pasar por el punto (0,0): 0 = 0 + 0 + 0 + d  d = 0 Luego la función es: y = x3 + b.x2 + c.x x = 2 es el mínimo, cuya derivada es cero. y´= 3.x2 + 2.b.x + c = 0  3.4 + 4.b + c = 0 Por pasar por el punto (2 , 0) 0 = 23 + b.22 + c.2  8 + 4.b + 2.c = 0 Resolviendo el sistema: c = – 4  b = – 2 F(x) = x3 – 2.x2 – 4.x E8 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.