SISTEMA AXIOMÁTICO http://contraelmetodo.blogspot.com/2010/11/sistemas-axiomaticos.html

CONSTRUCCIÓN AXIOMÁTICA DEL SISTEMA DE LOS NÚMEROS NATURALES POR PEANO

1859-1932

Giuseppe Peano Matemático y filósofo italiano, conocido por sus contribuciones a la Teoría de conjuntos. Peano publicó más de doscientos libros y artículos, la mayoría en matemáticas. La mayor parte de su vida la dedicó a enseñar en Turín.

Falleció de un ataque al corazón el 20 de abril de 1932 en Turín. Nació en una granja cerca del pueblo de Spineta cerca de Cuneo, en el Piamonte. Ingresó en la cercana Universidad de Turín en 1876. Se graduó en 1880 con honores y comenzó su carrera académica. Falleció de un ataque al corazón el 20 de abril de 1932 en Turín.

Giuseppe Peano Comenzó su carrera como asistente en la Universidad de Turín en 1880. Primero fue ayudante de Enrico D'Ovidio y después de Angelo Genocchi, el jefe de cátedra en Cálculo infinitesimal. Debido a la frágil salud de Genocchi, Peano empezó a dictar los cursos de cálculo infinitesimal a los dos años de trabajar como ayudante del catedrático.

Giuseppe Peano Su primer trabajo importante, un libro de texto sobre cálculo, fue atribuido a Genocchi y publicado en 1884. Tres años después, Peano publicó su primer libro sobre lógica matemática. Este libro fue el primero en usar los símbolos modernos para la unión e intersección de conjuntos.

Giuseppe Peano La famosa curva que llena el espacio o curva de Peano apareció en 1890 como un contraejemplo que usó para mostrar que una curva continua no puede ser encerrada en una región arbitrariamente pequeña. Éste fue un ejemplo temprano de lo que se conoce como fractal.

En 1898 presentó una nota a la Academia acerca del sistema de numeración binario y su capacidad para ser usado para representar los sonidos de las lenguas. Giuseppe Peano

París fue la sede de la Segunda Conferencia Internacional de Matemática en 1900. La conferencia fue precedida por la primera Conferencia Internacional de Filosofía, donde Peano fue miembro del comité de dirección. Presentó un artículo donde postuló la cuestión de definiciones formadas correctamente en matemática, es decir "¿Cómo se define una definición?".

Hacia 1901 estaba en la cima de su carrera matemática Hacia 1901 estaba en la cima de su carrera matemática. Hizo avances en las áreas de análisis, fundamentos y lógica, realizó muchas contribuciones a la enseñanza del cálculo y contribuyó en los campos de ecuaciones diferenciales y análisis vectorial. Jugó un rol central en la axiomatización de las matemáticas y fue un pionero en el desarrollo de la lógica matemática

Peano estaba a esta altura muy involucrado con el proyecto Formulario y sus cátedras comenzaron a sufrirlo. De hecho, estaba tan determinado a enseñar sus nuevos símbolos matemáticos que no se prestaba atención al cálculo en sus cursos. Como resultado, fue despedido de la Academia Militar Real, pero retuvo su puesto en la Universidad de Turín.

1908 fue un gran año para Peano 1908 fue un gran año para Peano. La última, la quinta edición del Proyecto Formulario, titulado Formulario Mathematico, fue publicado. Contenía 4200 fórmulas y teoremas, todos completamente enunciados y la mayoría probados

“Peano fue un hombre a quien admiré mucho desde el momento en que lo conocí por primera vez en 1900 en el Congreso de Filosofía, a la que él dominaba por la exactitud de su mente." (Bertrand Russell, 1932)

HITOS Y DISTINCIONES 1881: publicación de su primer artículo, 1884: publicación de Calcolo Differenziale e Principii di Calcolo Integrale, 1887: publicación de Applicazioni Geometriche del Calcolo Infinitesimale, 1889: nombrado profesor de primera clase en la Academia Militar Real, 1890: profesor extraordinario de Cálculo Infinitesimal en la Universidad de Turín, 1891: ingresa como miembro a la Academia de Ciencia de Turín, 1893: publicación de Lezioni di Analisi Infinitesimale (2 volúmenes), 1895: promovido a profesor ordinario en la Universidad de Turín, 1901: caballero de la Orden de los Santos Mauricio y Lázaro, 1903: anuncio de Latino sine flexione, 1905: caballero del Reino de Italia, elegido como miembro correspondiente de la Accademia dei Lincei en Roma, el mayor honor para un científico italiano, 1908: publicación de Formulario Mathematico (quinta y última edición del proyecto Formulario), 1917: oficial del Reino de Italia, 1921: ascendido de Oficial a Commendatore del Reino de Italia.

CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES POR PEANO Existe un conjunto que vamos a denominarlos, conjunto, cuyos elementos se denominan números naturales que contienen los siguientes: Conceptos primitivos, axiomas, definiciones y teoremas.

Un conjunto de los números naturales ℕ = {0, 1, 2, 3,…} CONCEPTOS PRIMITIVOS Un conjunto de los números naturales ℕ = {0, 1, 2, 3,…} Objeto cero, cuya representación es 0 Una relación binaria, llamada: “es siguiente de” ó “sucesor”, cuya denotación es “s”

1. Cero es un número natural : 0 ∈ ℕ AXIOMAS 1. Cero es un número natural : 0 ∈ ℕ 2. Todo número tiene sucesor al otro Si n ∈ ℕ ⟹ s(n) ∈ ℕ 3. Cero no es sucesor de ningún número Si n ∈ ℕ ⟹ s(n) ≠ 0

∀ n, m ∈ ℕ, Si s(n) = s(m) ⟹ n = m AXIOMAS 3. No hay dos números que tengan el mismo sucesor. O sea, si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural. ∀ n, m ∈ ℕ, Si s(n) = s(m) ⟹ n = m

AXIOMAS 4. Axioma del Principio de Inducción Completa (PIC). Cualquier propiedad que pertenece a cero y que el sucesor de cualquier otro número que tenga también esa misma propiedad, pertenece a todos los números. Es decir, si el número 0 (cero) pertenece al conjunto A, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece al conjunto A, entonces todos los números naturales pertenecen al mismo conjunto. Si A⊂ ℕ se cumple 0 ∈ A Si n ∈ A ⟹ s(n) ∈ A, entonces A = ℕ