INDUCCIÓN MATEMÁTICA.

Presentación del tema: "INDUCCIÓN MATEMÁTICA."— Transcripción de la presentación:

1 INDUCCIÓN MATEMÁTICA

2 Según el Diccionario de la Real Academia Española(DRAE)
Inducción: f.Acción y efecto de inducir. Inducir:Fil.Extraer,a partir de determinadas observaciones o experiencias particulares,el principio general implícito en ellas. Inferir:Deducir algo o sacarlo como conclusión de otra cosa.

3 ¿ INDUCCIÓN MATEMÁTICA ?
El método deductivo, muy usado en matemática, obedece a la siguiente idea: A partir de un cierto conjunto de axiomas aceptados sin demostración y de reglas lógicas no contradictorias, se deducen otros enunciados llamados teoremas combinando los axiomas y respetando en cada etapa las reglas lógicas . Otro método para demostrar resultados generales que dependen en algún sentido de los números naturales es conocido con el nombre de Inducción Matemática . Esta dependencia de los números naturales significa: Se sabe que una determinada afirmación es verdadera para algunos casos particulares y surge la pregunta, ¿ dicha afirmación sigue siendo verdadera para los infinitos números naturales restantes ?. ¿ INDUCCIÓN MATEMÁTICA ?

4 Otro método para demostrar resultados generales que dependen en algún sentido de los números naturales es conocido con el nombre de Inducción Matemática . Esta dependencia de los números naturales significa: Se sabe que una determinada afirmación es verdadera para algunos casos particulares y surge la pregunta, ¿ dicha afirmación sigue siendo verdadera para los infinitos números naturales restantes?.

5 Inducción Matemática Una función proposicional P(n) es verdadera para todos los valores de la variable n si se cumplen las siguientes condiciones : Paso 1.- Función proposicional: P(n) es verdadera para n = 1 o bien, P(1) es verdadera. Paso 2.- Hipótesis de inducción : Se supone que P(h) es verdadera , donde h es un número natural cualquiera. Paso 3.- Tésis de inducción: Se demuestra que P(h + 1) será verdadera si P(h) es verdadera , entonces P(h + 1) también lo será.

6 Intuitivamente la idea anterior se conoce con el nombre de “Efecto Dominó”. Si imaginamos una infinita hilera de fichas de dominó dispuestas verticalmente y suficientemente próximas una y otra , entonces la caída de la primera ficha provoca la caída de la segunda ficha y así, por el principio de Inducción Matemática la hilera completa caerá.

7 La técnica de Inducción Matemática consiste en realizar los tres pasos anteriores. Si se necesita demostrar la validez de una proposición P(n) para todos los valores naturales n, entonces es necesario y suficiente que se cumplan los pasos 1, 2 y 3

8 DEMOSTRACIÓN POR INDUCCIÓN
Ejemplo : Sea la proposición siguiente: n = n(n+1),  n perteneciente a los números naturales 2 1= 1(1+1). Por lo tanto para n=1 satisface la proposición (paso 1). Supongamos válida la proposición para h perteneciente a los números naturales (paso 2), es decir supongamos que: h = h(h+1). (Hipótesis de inducción). Demostremos que (h + 1) también satisface la proposición (paso 3) es decir, demostremos que: h+(h+1) = (h+1)(h+2). Demostración: ( h)+(h+1) = h(h+1) + (h+1) = h(h+1)+2(h+1) = (h+1)(h+2) Luego la proposición es verdadera n perteneciente a los números naturales.