INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS DE EDIFICACIÓN Esfuerzos simples y compuestos sobre elementos estructurales

INTRODUCCIÓN Una estructura se encarga de transmitir las cargas al terreno. Debe cumplir las siguientes condiciones: Estática (no debe moverse) Estable (el equilibrio debe ser estable) Resistente (no debe romperse) Durable ( Capítulo VII EHE, NBE-EA-95)

El ciclo completo estructural Las 4 fases que componen este ciclo son: 1- Diseño 2- Cálculo 3- Construcción 4- Inspección Nota: En el cálculo de las estructuras se juega con las condiciones de rigidez Equilibrio

Proceso de cálculo 1-Determinación de la reacciones Ri 2-Determinación de las solicitaciones Si 3- Determinación de las tensiones σi 4- Comparación y comprobación σi ≤ σa de tensiones σa= σr / γ 5- Determinación de las deformaciones 6- Comprobación de la estabilidad. Pandeo

Esfuerzos. Definición y tipos Se denomina esfuerzo, a la fuerza-acción que actúa sobre la superficie de un cuerpo Esfuerzos simples Axial ó Normal Flexión Torsión Cortante Esfuerzos compuestos Flexo-torsión Flexo-compresión

ESFUERZOS SIMPLES -Son aquellos que se encuentran aislados en la edificación y por lo tanto se estudian independientemente. - A pesar de ello estos esfuerzos no suelen darse en los elementos estructurales por separado, sino que éstos suelen estar sometidos a varios esfuerzos simples simultáneamente.

Esfuerzo Axial ó Normal La solicitación en una sección S de una viga se reduce exclusivamente al esfuerzo axial o normal N cuando la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre la parte de la viga comprendida entre uno de sus extremos y la sección S coincide con el eje geométrico de la viga. El esfuerzo axial puede ser de tracción si estira la viga y de compresión si la acorta.

N N N N Axil o esfuerzo positivo Axil o esfuerzo negativo Tracción Compresión N N S S Tracción + N N Compresión -

Compresión Esfuerzo axial que mantienen apretado a un cuerpo, empujando por sus extremos, de los que resulta el acortamiento o reducción del volumen de un cuerpo elástico. s N N´ Compresión - N = N´

Compresión A B N HA HA= N VA VB L N - Δv - - Viga sometida a un esfuerzo de compresión, el cual provoca que dicha viga se acorte y como consecuencia de ello disminuye su volumen A B N HA HA= N VA VB L N - Δv -

(-)

Tracción Esfuerzo axial desarrollado en la sección transversal de un cuerpo elástico, debido a las fuerzas colineales de tracción, someten a la viga a un esfuerzo, lo que hace que tienda a alargarse, produciéndole un incremento de volumen. s N´ N Tracción + N = N´

Tracción A B N HA HA= N VA VB L N + Δv + - Viga sometida a un esfuerzo de tracción, el cual provoca que dicha viga se estire y como consecuencia de ello aumente su volumen A B N HA HA= N VA VB L N + Δv +

Esfuerzo Normal Esfuerzo normal sobre vigas prismáticas Tensión normal σN = N/A Deformación de la viga Ley de Hooke σx = E·εx Incremento de longitud ΔL = L·N/E·A Rigidez a la deformación E·A /L

Esfuerzo Normal Condición de resistencia σN = N/A ≤ σA σA = σf / γ Contracción transversal εy = εz = - εx / m Valores importantes Ea = 2,1 · 105 Mpa טa= 1/ m =0,30 ma= 3,33

Flexión La solicitación en una sección S de una viga se reduce exclusivamente al momento flector M cuando las fuerzas exteriores que siguen o preceden a la sección equivalen a un par que actúa en un plano normal al de la sección P P p p

Flexión Criterio de signos Se considera como positivo el momento flector que mirando la sección desde la izquierda lleve sentido de la agujas del reloj. Será negativo el momento que lleve sentido contrario. Momento positivo provoca tracciones en las fibras inferiores de la viga y compresiones en las fibras superiores Momento negativo provoca compresiones en las fibras inferiores de la viga y tracciones en las fibras superiores T C Negativo - + C Positivo T

Flexión Tensiones internas 1-Equilibrio estático(ΣM=0) ⌡y· σx ·dA = M 2-Hipótesis de Bernoulli-Navier εx = K·y 3-Ley de Hooke σx = E·εx Operando y despejando σx de la expresión 1 obtenemos: σx = (M/I)·y , siendo I= (b·h3)/12 ( Momento de Inercia)

Deformación de la viga εx = (M·y)/(E·I) φ = M/(E·I) Φ= φ·l = M·l/E·I El valor de la deformación de la viga se puede resumir en dos parámetros, la deformación unitaria εx y la deformación angular φ εx = (M·y)/(E·I) φ = M/(E·I) Φ= φ·l = M·l/E·I Módulo de rigidez a la flexión E·I/I Distancia l

Condición de resistencia La tensión mayor (en tracción y en compresión) se encuentra donde “y” es máxima, es decir , en la fibra inferior y en la fibra superior, en definitiva en las fibras extremas σm = M·y/I ≤ σA Si w = I/y (módulo resistente) σm = M/w ≤ σA Para secciones rectangulares w ≥ M / σA w = I/(h/2) pues que I = b·h3 / 12 w = b·h2 / 6 Despejando w h b

(+) C T C T C T σm=(M/I)*Y C T C T C T C T C T

Nota: no se ven criterios de signos porque no son necesarios Torsión La solicitación de torsión la tenemos cuando en ambos extremos de una viga rectilínea actúan momentos iguales y contrarios, en planos normales al eje geométrico, en cuyo caso la solicitación es de torsión simple y constante en todas las secciones. Mt Nota: no se ven criterios de signos porque no son necesarios Mt

Torsión Tensiones en la viga de sección circular 1-Equilibrio estático(ΣM=0) ⌡ τ ·dA·r = Mt 2- Según Ley de Hooke τ = G·γ γ corrimiento G módulo de deformación tangencial 3- Corrimiento proporcional a radio “r” γ = K·r Sustituyendo y operando en ecuación 1 obtenemos

Torsión τ = Mt/Ip · r siendo Ip = π·R4/ 2 Tensión tangencial Momento de inercia polar

Condición de resistencia Exige su planteamiento allí donde es máxima la tensión τ, es decir en el contorno de la sección, donde r es máximo y vale r = R τmax = Mt/Ip · R , y sabiendo que Ip = π·R4/ 2 τmax = 2·Mt / π·R3 ≤ t (carga de seguridad a tensión tangencial) Angulo de torsión en vigas Según se desprende de la fig. 5.2 el ángulo de torsión θ = γ / r y al ser τ = G·γ, podemos despejar obteniendo γ = τ/ G y teniendo en cuenta el valor de τ obtenemos θ = Mt/(G·Ip) A la expresión C = G·Ip/ l se le denomina rigidez a torsión de la viga Φ =θ·l = Mt·l/(G·Ip) Longitud l

a) Teorema de reciprocidad Propiedades de las tensiones tangenciales a) Teorema de reciprocidad Conclusiones τxy = τyx τxz = τzx τyz = τzy En dos elementos ortogonales de superficie, las tensiones tangenciales dirigidas normalmente a la arista común son iguales.

b) Tensiones que acompañas a las tangenciales Conclusiones 1- Deformación máxima ε1 se produce cuando α= 45º en tracción y mínima ε2 cuando α= -45º en compresión ε1 = - ε2=( γ /2)· sen 2α 2- Teniendo en cuenta esas direcciones de 45º y -45º y dando valores a los cosenos obtenemos σ1Cos45º + σ2Cos45º = τ√2 σ1= -σ2= τ

c) Relación entre los módulos de deformación G y E G en función de E E en función de G G = m/2(m+1) · E E = 2·G·(m+1)/m Deformación tangencial Deformación longitudinal

Cortante Una sección S de una viga está sometida exclusivamente a esfuerzo cortante T cuando la resultante de todas las fuerzas exteriores que preceden a S está en su plano y pasa por su baricentro. Criterio de signos S S T - T +

Teoría elemental de la cortadura Ecuación de equilibrio ⌡(σ1 – σ)·dA –τxy·b·dx=0 M1 = M +dM ,siendo dM=T·dx σ1 – σ = T·dx · y/I τxy = T·Si / I·b Suponemos que M1 ≠ M Teniendo en cuenta los valores de σ y σ1 y desarrollando obtenemos que Introduciendo este valor en la integral y operando obtenemos

Sección rectangular Momento inercia I = b·h3 / 12 Momento estático Si =b/2·(h2/4 – y2) τxy = T·Si / I·b τxy = 6·T/b·h3 · (h2/4 – y2)

ESFUERZOS COMPUESTOS Son aquellos en los que intervienen dos o más esfuerzos simples. Son los más comunes en la edificación.

Pandeo Solicitación compuesta que se suele presentar en pilares cuando sobre estos actúa una fuerza excéntrica (P) o cuando en sus extremos actúa otra estructura que le transmite un momento (M).

Pandeo dφ = Mdx / EI dη2 / dx2 = M / EI dφ = dη / dx η” = - Pη / EI M = P·η η = c1 sen αx + c2 cos σx η” = -α2·η α2 = P/EI η´ = α c1 cos αx - σ c2 senσx η” = - α2 · η

Pandeo según los enlaces Barra empotrada - libre Barra articulada - articulada Pcr =π2 EI / (2l)2 Pcr =π2 EI / l2

Pandeo según los enlaces Barra articulada - empotrada Barra empotrada - empotrada Pcr =π2 EI / (0.7l)2 Pcr =π2 EI / (0.5l)2

pilar empotrado - empotrado Las fisuras en los pilares pueden aparecer por una colapso de la viga, o también por un aumento excesivo de la flecha máxima, debido a un excesiva carga del forjado. φ Ƞ Ƞ” = -M/E*I F η” = -α2·η (-) dφ = Mdx / EI Fmàx = (ql4)/(384EI) pilar empotrado - empotrado Pcr =Π2 EI / (0.5l)2

ELEMENTOS ESTRUCTURALES SOMETIDOS A ESTOS ESFUERZOS

(-)

Ecuación de la deformada A=B=(ql)/2 A B TA= (ql)/2 TB= -(ql)/2 + Cortante A B - M ½ =(ql2)/24 - - Momentos A B + Fmàx = (ql4)/(384EI) Pandeo A B Ecuación de la deformada η” = - M / EI η” = -α2·η

(+) C T C T C T

ᵩ φA A = - ML / EI TA HA = 0 TA = P L MA HA T = -P M = -P · L φA REACCIONES P TA HA = 0 TA = P MA = P·L L MA HA B A CORTANTE T = -P A B - MOMENTO M = -P · L - A B DEFORMACION ᵩ φA A = - ML / EI φA φA = - PL2 / EI Fmàx = ML2 / 2EI A B Fmàx = P·L3 / 2EI