CÁLCULO INTEGRAL 1. Introducción Gustavo Rocha 2005-2

Repaso histórico Antigüedad: contaban con piedrecillas; en latín, “calculus” significa piedrecilla. Egipcios y babilonios: generaron procedimientos prácticos de cálculo, relativamente evolucionados, en agrimensura, metrología y astronomía. Griegos. Integraron las reglas empíricas en un sistema teórico, pero su sistema de numeración lo limitaba al uso de regla y compás. Siglo XVI: Los árabes introdujeron a Europa la numeración india en plena expansión cultural renacentista, se desarrollaron el álgebra simbólica y los logaritmos. Siglo XVII: Descartes creó la geometría analítica, que permitió el cálculo numérico exacto, sentando las bases del cálculo infinitesimal, creado por Newton y Leibniz, y origen del análisis matemático moderno. Siglo XX: El cálculo numérico y los métodos de cálculo aproximado han recibido un nuevo impulso, soportados ahora por poderosos equipos y programas de cómputo.

Antecedentes del cálculo El cálculo integral tiene, al menos, unos 2,500 años de historia Ya en el siglo VI a.C., Tales de Mileto y Pitágoras de Samos se percataron de la importancia del estudio de los números, para poder entender al mundo. Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos, considerándolos formados por un numero infinito de secciones de grosor infinitesimal. Eudoxo y Arquímedes utilizaron el método del agotamiento para encontrar el área del círculo. Hipócrates de Cos descubrió que el área de figuras geométricas en forma de media luna, limitadas con arcos circulares, son iguales a la de ciertos triángulos. Euclides dejó plasmado en los 13 libros que componen sus Elementos la mayor parte de los conocimientos matemáticos existentes en finales del siglo IV AC.

El método del agotamiento A = A1 + A2 + A3 + A4 A2 A A3 A4

La cuadratura del triángulo Construir un cuadrado que tenga la misma área que un triángulo equilátero dado 3 2 1 1 4 2 4 3 l = 2·(43) l = 4 A = 4(23)/2 = 43 A = 43

Demócrito El volumen del cono Las primeras ideas sobre infinitesimales aparecieron con Demócrito y el desarrollo del atomismo donde concebía los sólidos como la suma de un número infinito de capas planas paralelas unas a otras, infinitamente delgadas e infinitamente próximas. h r h r A = r2h/3

Demócrito Volumen de pirámides y conos "El volumen de un cono es igual a un tercio del volumen de un cilindro de igual base y altura“ "El volumen de una pirámide es un tercio del volumen del prisma de igual base y altura"

La constante del círculo Un círculo de diámetro d, al dar una vuelta completa describe una trayectoria cuya longitud es el perímetro de la circunferencia. Si se divide dicha longitud entre el diámetro, siempre da el mismo valor, el número , el más popular y enigmático de los números. Si  es irracional, entonces el perímetro P y el área A también lo son. P/d =  d P = ·d

Tres problemas clásicos con regla y compás Duplicación del cubo Construir un cubo cuyo volumen sea el doble que el de otro Trisección del ángulo Dividir en tres partes iguales un ángulo arbitrario Cuadratura del círculo Construir un cuadrado que tenga la misma área que un círculo dado Las tres construcciones son imposibles (con regla y compás), pues la condición necesaria y suficiente para que un punto pueda ser obtenido a partir de otros dados es que sus coordenadas se expresen en función de las coordenadas de los datos, mediante un número finito de operaciones racionales y extracciones de raíces cuadradas.

El método del agotamiento A = bh A = 2 x 1 = 2 2 cuadrados 1 2 h = 1 b = 2 A = r2 A = (1)2 =  ¿ cuadrados? 2 3 ? r = 1 1 No le hallo la cuadratura al círculo

Hipócrates La cuadratura de las lúnulas La suma de las áreas de las lúnulas L1 y L2 construidas sobre los catetos de un triángulo rectángulo es igual al área del triángulo

Antecedentes del cálculo El cálculo diferencial es, al menos 2,000 años más joven que el integral, pues se inicia apenas en el siglo XVII. John Napier  descubrió los logaritmos. Cavalieri y Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales. Rene Descartes y Pierre de Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y las tangentes. Fermat y Barrow intuyeron que el cálculo diferencial y el integral estaban relacionados. Newton y Leibniz demostraron que el cálculo integral es el inverso del diferencial.

INTRODUCCIÓN El estudio de las pendientes de las tangentes -las derivadas- permite calcular las razones de cambio instantáneo de un fenómeno. Cálculo diferencial. El estudio de las áreas bajo la curva -las integrales- permite describir la forma en que se acumulan estos cambios instantáneos para producir las funciones. Cálculo integral. El cálculo infinitesimal es la unión del cálculo diferencial con el cálculo integral y ha sido el logro más poderoso del ser humano en el camino para comprender el funcionamiento del universo. El cálculo es la rama de las matemáticas dedicada a estudiar el cambio y el movimiento, tratando con cantidades que se aproximan a otras cantidades –los límites- . Límite, derivada e integral son los tres conceptos fundamental del cálculo.

APLICACIONES DEL CÁLCULO Explicar el movimiento de los planetas Calcular las órbitas de los satélites y de las naves espaciales Predecir los tamaños de poblaciones Establecer la rapidez con que se elevan los precios Pronosticar los cambios meteorológicos Medir el flujo cardíaco Calcular las primas de seguros Calcular el rendimiento de una inversión Determinar la distancia del aeropuerto en que ha de iniciarse el descenso Determinar la cantidad de combustible que se ha fugado de un tanque en un período determinado Calcular la cantidad de gasolina que queda en un tanque de forma irregular, a partir de la medición del nivel con flotador

“ ... Tú lo aprenderás, pero no de mí sino del río. Él fue mi maestro, y será el tuyo. Todo lo sabe el río, todo lo puede enseñar, todo.” Siddhartha, Hermann Hesse

“... El río está simultáneamente por doquier: en su fuente y en su desembocadura, en la catarata, en el arroyo y en el rápido, en el mar y en la montaña; en todas partes al mismo tiempo y no hay en él la menor partícula de pasado o la más breve idea de tiempo venidero, sino solamente el presente” Siddhartha, Hermann Hesse

“ No es que no nos atrevamos porque las cosas son difíciles; es que las cosas son difíciles porque no nos atrevemos.” Séneca “De la brevedad de la vida”

“ El peligro más grande en la vida es no arriesgar nada; la persona que no arriesga, no hace nada, no tiene nada, es nada.” Séneca “De la brevedad de la vida”