MÉTODOS NUMÉRICOS .

OBJETIVO Usar algoritmos para la solución de modelos de difícil solución algebraica en diversos campos de aplicación de la ingeniería

Programa de la materia FUNDAMENTOS: Errores, estabilidad y convergencia. SERIE DE TAYLOR RAICES DE ECUACIONES RESOLUCION NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES. APROXIMACION: Ajuste e interpolación INTEGRACION Y DIFERENCIACION NUMERICA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

Bibliografia Chapra Steven C. Métodos numéricos para ingenieros, McGrawHill, M+exico, 5ta edición, 2006. Mathews Jonh, Métodos numéricos con MATLAB, 3ra edición, Prentice Hall, España, 2000. Nakamura, Análisis numérico y visualización gráfica con MATLAB, México

Importancia de los Métodos Numéricos Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Clase1Lb.ppt 5

Análisis Numérico Una definición de análisis numérico podría ser el estudio de los errores en los cálculos; error aquí no quiere decir, equivocación u omisión, sino más bien una discrepancia entre el valor exacto y el calculado, que es consecuencia de la manera con que se manejan los números o fórmulas.

INTRODUCCION Tipo de problema

INTRODUCCION Modelo matemático

INTRODUCCION Método numérico

Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en: Cálculo de derivadas Integrales Ecuaciones diferenciales Operaciones con matrices Interpolaciones Ajuste de curvas Polinomios Los métodos numéricos se aplican en áreas como: Ingeniería Industrial, Ingeniería Química, Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica, Ingeniería eléctrica, etc...

INTRODUCCION EQUIPOS: Computadora Calculadora

Función polinomial Definición La función: se conoce como función polinomial de n–simo grado. También se hará referencia a P(x) como un polinomio de grado n Los números an, an-1, ..., a1, a0 se llaman coeficientes del polinomio y pueden ser reales o complejos.

El dominio de la función puede ser el conjunto de los números reales o el conjunto de los números complejos. Las soluciones de la ecuación las llamamos raíces de la función P. Si los coeficientes de la función son reales y la raíz también, tendríamos un cruce por el eje x de la gráfica de la función.

Raíz = cruce por el eje X f(x) x

Teorema del Residuo: El residuo de la división del polinomio P(x) entre el binomio x - c es P(c). Es decir el residuo se obtiene sustituyendo el valor de “c” en el polinomio.

Ejemplo: Determine el residuo de la división de P(x) = x3 - 3x2 + x + 5 entre x - 2. De acuerdo con el teorema del residuo: R = P(2) = (2)3 – 3(2)2 +(2) +5 = 8 – 12 +2 +5 = 3 Comprobando por división sintética: 2| 1 -3 1 5 2 -2 -2 ------------------ 1 -1 -1 | 3  Residuo

Teorema del Factor: Si el residuo de la división del polinomio P(x) entre el binomio x - c es 0, entonces x – c es un factor de P(x). Se busca el residuo, empleando el teorema del residuo o la división sintética, si su valor es 0, entonces el binomio x – c es un factor de P(x).

Ejemplo: Determine si x + 1 es un factor del polinomio P(x) = 2x3 + x2 + 3x + 4 Buscamos el residuo: Por el teorema del residuo: R = P(-1) = 2(-1)3 + (-1)2 +3(-1) +4 = -2 + 1 - 3 + 4 = 0 x + 1 es factor. Por división sintética: -1| 2 1 3 4 -2 1 -4 -------------------- 2 -1 4 |0  Residuo x + 1 es factor

Ejercicio: Halle una ecuación polinómica de grado 3, con coeficientes enteros, que tenga como raíces o soluciones a: -1, 3 y -2. Seleccionamos una variable que puede se la x. Se cumple que x = -1, x = 3, x = -2 son soluciones de la cuación. Planteamos entonces x + 1 = 0 , x – 3 = 0 , x + 2 = 0 y escribimos la ecuación en forma factorizada ( x + 1 ) ( x – 3 ) ( x + 2 ) = 0 resolvemos ( x2 – 2x – 3 ) ( x + 2 ) = 0 x3 + 2 x2 – 2 x2 – 4 x – 3x – 6 = 0 x3 – 7 x – 6 = 0 Ecuación pedida. Si hay coeficientes fraccionarios, se multiplica toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones. Si una raíz o solución es doble se pone el factor elevado al cuadrado.

Ejercicio: Resuelva la ecuación x3 – 4 x2 + x + 6 = 0 sabiendo que -1 es una raíz o solución. Efectuamos la división sintética de P(x) = x3 – 4 x2 + x + 6 entre x + 1 1 | 1 - 4 1 6 Escribimos: - 1 5 - 6 x3 – 4 x2 + x + 6 = ( x + 1 ) ( x2 – 5 x + 6 ) 1 - 5 6 | 0 | = 0 ( Dividendo = divisor x cociente + residuo ) entonces x2 – 5 x + 6 = 0 y resolvemos ya sea factorizando o por la fórmula cuadrática. En este caso factorizamos: ( x – 2 ) ( x - 3 ) = 0 ; x = 2 , x = 3. Conjunto solución: S = { - 1, 2, 3 }

Ejemplo: Determine el cociente y el residuo que se obtiene al dividir : 4 2 –6 –5 1 5 20 110 520 2575 4 22 104 515 2576

Ejercicios

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA Rafael Guzmán Cabrera Abril-2009 Campus Irapuato-Salamanca División de Ingenierías