Apuntes de Matemáticas 2º ESO U.D. 6 * 2º ESO ECUACIONES @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

PARÉNTESIS Y FRACCIONES U.D. 6.3 * 2º ESO PARÉNTESIS Y FRACCIONES @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES Para RESOLVER UNA ECUACIÓN con paréntesis se procede así: 1.- SE ELIMINAN LOS PARÉNTESIS Para ello se aplica la propiedad distributiva. Hay que tener en cuenta la regla de los signos. Si hay un menos delante de un paréntesis se cambian todos los signos que hay dentro. 2.- SE TRANSPONEN LOS TÉRMINOS Para ello se pasan todos los términos literales a un lado de la igualdad. Y los términos independientes se agrupan al otro lado. 3.- SE REDUCEN LOS TÉRMINOS SEMEJANTES Para ello se suman por un lado todos los monomios que son la parte literal. Y por otro lado se suman o restan las constantes. 4.- SE DESPEJA LA INCÓGNITA Para ello el número que multiplica a la incógnita pasa al otro lado dividiendo, pero sin cambiar de signo. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

ECUACIONES CON PARÉNTESIS EJEMPLO_1 Resolver la ecuación: 7 – (x – 2) = x + 5 Paréntesis: 7 – x + 2 = x + 5 Trasponer términos: – x – x = 5 – 7 – 2 Reducir términos semejantes: – 2.x = – 4 Despejar: x = – 4 / (– 2) x = 2 Comprobamos el resultado: 7 – (x – 2) = x + 5 7 – (2 – 2) = 2 + 5  7 – 0 = 7  7 = 7 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

ECUACIONES CON PARÉNTESIS EJEMPLO_2 Resolver la ecuación: 7 – 3.(x – 2) = 2.(x + 5) – 4 Paréntesis: 7 – 3.x + 6 = 2.x + 10 – 4 Trasponer términos: – 3.x – 2.x = 10 – 4 – 7 – 6 Reducir términos semejantes: – 5.x = – 7 Despejar: x = – 7 / (– 5) x = 7 / 5 = 1,40 Comprobamos el resultado: 7 – 3.(x – 2) = 2.(x + 5) – 4 7 – 3.(1,40 – 2) = 2.(1,40 + 5) – 4  7 – 4,20 + 6 = 2,80 + 10 – 4  8,80 = 8,80 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

ECUACIONES CON PARÉNTESIS EJEMPLO_3 Resolver la ecuación: 3 + 4.(3 – 2.x) = x + 5.(1 – 3x) Paréntesis: 3 + 12 – 8.x = x + 5 – 15.x Trasponer términos: – 8.x – x + 15.x = 5 – 3 – 12 Reducir términos semejantes: 6.x = – 10 Despejar: x = – 10 / 6  x = – 5 / 3 Comprobamos el resultado: 3 + 4.(3 – 2.x) = x + 5.(1 – 3x) 3 + 4.(3 – 2. (– 5 / 3) ) = (– 5 / 3) + 5.(1 – 3(– 5 / 3 ))   3 + 12 + 40/3 = - 5/3 + 5 + 75/3   (9 + 36 + 40)/3 = (75 – 5 + 15)/3  85/3 = 85/3 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

ECUACIONES CON PARÉNTESIS EJEMPLO_4 Resolver la ecuación: (3 – x) + 2.(1 – 2.x) = 2.x – 3.(1 – 3x) Paréntesis: 3 – x + 2 – 4.x = 2.x – 3 + 9.x Trasponer términos: 3 + 2 + 3 = 2.x + 9.x + x + 4.x Reducir términos semejantes: 8 = 16.x  16.x = 8 Despejar: x = 8 / 16 = ½ = 0,50 Comprobamos el resultado: (3 – 0,50) + 2.(1 – 2.0,50) = 2.0,50 – 3.(1 – 3.0,50) 2,50 + 2.(1 – 1) = 1 – 3.(1 – 1,50) 2,50 + 2.0 = 1 – 3.(– 0,50) 2,50 + 0 = 1 + 1,5  2,50 = 2,50 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES Para resolver una ecuación con denominadores se procede así: 1.- SE ELIMINAN LOS DENOMINADORES Para ello se halla el mcm de los denominadores y se multiplican todos los términos por ese mcm. 2.- SE ELIMINAN LOS PARÉNTESIS Para ello se aplica la propiedad distributiva, teniendo en cuenta la regla de los signos. Si hay un menos delante de un paréntesis se cambian todos los signos que hay dentro. 3.- SE TRANSPONEN LOS TÉRMINOS Para ello se pasan todos los términos literales a un lado de la igualdad. Y las constantes se agrupan al otro lado. 4.- SE REDUCEN LOS TÉRMINOS SEMEJANTES Para ello se suman por un lado todos los monomios que son la parte literal. Y por otro lado se suman o restan las constantes. 5.- SE DESPEJA LA INCÓGNITA Para ello el número que multiplica a la incógnita pasa al otro lado dividiendo. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

ECUACIONES CON DENOMINADORES EJEMPLO_1 Resolver la ecuación: x x – 1 --- = x – ------- 3 4 Denominadores: mcm(3,4)=12 4.x 12.x 3.(x – 1) ----- = --------- – ------------  4.x = 12.x – 3.(x – 1) 12 12 12 Paréntesis: 4.x = 12.x – 3.x + 3 Trasponer términos: 4.x – 12.x + 3.x = 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

ECUACIONES CON DENOMINADORES Reducir términos semejantes: – 5.x = 3 Despejar: x = 3 / (– 5)  Al pasar dividiendo lo hace con el signo que tenga. x = – 3/5 = – 0’6 Comprobamos el resultado: - 0’6 – 0,6 – 1 ------- = – 0,6 – ------------- 3 4 – 1,6 – 0,2 = – 0,6 – --------- 4 – 0,2 = – 0,6 – (– 0,4)  – 0,2 = – 0,6 + 0,4  – 0,2 = – 0,2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

ECUACIONES CON DENOMINADORES EJEMPLO_2 Resolver la ecuación: x 2.x – 3 2 – x --- – ---------- = ------- 3 4 6 Denominadores: mcm(3,4, 6)=12 4.x 3.(2.x – 3) 2.(2 – x ) ----- – -------------- = ------------- 12 12 12 4.x – 3.(2.x – 3) = 2.(2 – x) Paréntesis: 4.x – 6.x + 9 = 4 – 2.x @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

ECUACIONES CON DENOMINADORES Trasponer términos: 4.x – 6.x + 2.x = 4 – 9 Reducir términos semejantes: 0 = – 5 Despejar: No se puede despejar x. Además la última igualdad es falsa. No hay solución. La ecuación es INCOMPATIBLE. No existe ningún valor de x que verifique la ecuación. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

ECUACIONES CON DENOMINADORES EJEMPLO_3 Resolver la ecuación: x 2x – 3 x --- – x + 1 = --------- – 2.---- 4 6 9 Denominadores: mcm(4, 6, 9)= 36 9.x 36.(x – 1) 6.(2x – 3) 4.2.x ----- – ------------- = -------------- – -------- 36 36 36 36 9.x – 36.(x – 1) = 6.(2x – 3) – 4.2.x Paréntesis: 9.x – 36.x + 36 = 12.x – 18 – 8.x @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

ECUACIONES CON DENOMINADORES Trasponer términos: 9.x – 36.x – 12.x + 8.x = – 18 – 36 Reducir términos semejantes: – 31.x = – 54 Despejar: x = – 54 / (– 31)  x = 54/31= 1,74 por defecto Comprobamos el resultado: 1,74 2.1’74 – 3 1,74 ------ – 1,74 + 1 = -------------- – 2. -------- 4 6 9 0’435 – 0’74 = 0,08 – 0,387 – 0,305 = – 0,307  La diferencia, mínima, se debe al redondeo. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO