INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES MODELAMIENTO MATEMÁTICO PARA PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Ing. Sergio Andrés Nieto Duarte

CONTENIDO Introducción Modelos y tipos de modelos Modelos matemáticos Situaciones en las que puede aplicarse programación lineal Pasos para modelar matemáticamente problemas de P.L. Ejemplo Conclusiones

Introducción La programación lineal es una herramienta poderosa para optimizar procesos de diferentes tipos, sin embargo, al ser una herramienta es necesario buscar la forma de aplicarla a situaciones reales del entorno profesional. Para esto es necesario el estudiar que tipo de situaciones pueden optimizarse bajo esta técnica y así mismo el como describir matemáticamente un problema de programación lineal para su posterior optimización

Modelos Muchas veces cuando se desea implementar algún tipo de solución o realizar algún tipo de prueba en una situación definida es necesario crear algún tipo de elemento (o elementos) que pueda reemplazar los componentes originales pero permitiendo al mismo tiempo cierta precisión y cercanía con la realidad. Por ejemplo cuando se desea realizar la construcción de un edificio el arquitecto encargado del diseño crea por lo general una «maqueta» para mostrar de una manera más gráfica y más cercana a la realidad el como se debería ver tal construcción, o bien cuando se desean realizar pruebas de seguridad para automóviles se utilizan «doomies» que simulan la resistencia del cuerpo humano. Pero ¿Por qué se utilizan este tipo de elementos? Imaginemos por un momento que se construye el edificio directamente sin una presentación previa y a la compañía que realiza la inversión no le gusta debido a la no contemplación en el diseño e algunos aspectos muy importantes; o bien, en el caso de las pruebas de automóviles, en lugar de usar un muñeco se usa un ser humano . En tales casos se estarían comprometiendo recursos económicos o incluso la vida de un ser humano. A esos elementos como la maqueta o el muñeco de pruebas los denominamos «modelos»

Tipos de modelos Ahora bien, no todos los modelos son iguales, el tipo de modelo corresponderá a la situación que desee estudiarse. Por eso tenemos varias clases de modelos, Turner (1970) los clasifica como: Modelos simbólicos: Son representaciones mediante el uso de lenguaje, como los modelos verbales y los modelos matemáticos Modelos mentales: Son abstracciones mediante las cuales se busca explicar mediante el pensamiento una situación Modelos físicos: Son representaciones físicas (como la maqueta o el muñeco de prueba) pueden ser de naturaleza icónica (gráfica), analógica (un elemento de reemplazo), dinámicos´, estáticos, etc.

Modelos matemáticos Un modelo matemático es por lo tanto una representación de una situación mediante el uso de lenguaje matemático (ecuaciones, inecuaciones, expresiones) que se usa para describir una situación. Por ejemplo para predecir el comportamiento de una inversión antes de llegar a realizarla. Son ampliamente utilizados debido a que son económicamente más asequibles que los modelos físicos y permiten modificaciones de acuerdo a las decisiones que puedan llegar a tomarse a partir de su análisis previo

Situaciones en las que puede aplicarse programación lineal Aquellas situaciones donde necesitemos optimizar (maximizar o minimizar) algún parámetro de un proceso teniendo en cuenta limitantes (como recursos disponibles o decisiones respecto al número de unidades de producción) y que puedan ser descritas con formas matemáticas lineales (proporcionalidad directa entre variables) pueden ser trabajadas mediante programación lineal. A continuación hablaremos sobre los procesos básicos de modelamiento de problemas de programación lineal y veremos un ejemplo

Modelamiento de problemas de p.l. Para modelar matemáticamente un problema de programación lineal primero debemos reunir toda la información posible, luego procederemos a: Identificar las «variables de decisión» (esto es preguntarnos ¿Qué deseamos saber? O bien ¿De qué depende directamente? Y nombrar con variables tales aspectos). Es importante tener en cuenta que las variables e decisión deben ser «controlables» -es decir que puedan modificarse según las necesidades del proceso y lo que pueda analizarse en la solución del modelo Identificar el objetivo del ejercicio: Minimizar o Maximizar Determinar que parámetro se quiere optimizar y describirlo matemáticamente con una función lineal que llamaremos función objetivo Determinar que limitantes existen en el problema y describirlos matemáticamente con formas lineales que llamaremos restricciones Presentar el modelo en forma estándar Aplicar alguna técnica de resolución del modelo Analizar resultados para la toma de decisiones

Ejemplo Para ilustrar el proceso de modelamiento estudiaremos la siguiente situación: Una empresa se dedica a la producción de muebles para oficina: Escritorios, sillas y armarios que presentan las siguientes utilidades por unidad respectivamente: $35.000, $12.000 y $30.000. Si para fabricar cada mueble se deben cumplir dos procesos de producción referentes a “corte y ensamble” y “acabados y pintura” para los cuales se dispone de 40 horas y 30 horas semanales totales respectivamente y se sabe que para fabricar un escritorio se gastan 2 horas en “corte y ensamble” y 4 horas en “acabados y pintura”, para fabricar una silla se gastan 1 hora en “corte y ensamble” y 30 minutos en “acabados y pintura” y para cada armario se emplean 3 horas en corte y ensamble y 2 horas en acabados y pintura y adicionalmente la gerencia ha determinado que deben producirse como mínimo 10 muebles (combinados de cualquier forma) por semana. Determine el número de unidades que deben producirse de cada tipo por semana para maximizar las utilidades de la empresa.

Para empezar vemos que es un sistema de producción en paralelo, puesto los procesos trabajan simultáneamente, adicionalmente se desea optimizar un parámetro teniendo en cuenta limitantes. Lo primero que haremos (paso fundamental) será identificar las VARIABLES DE DECISIÓN, estas son las variables directamente relacionadas con lo que deseamos conocer en nuestro problema. Para nuestro caso deseamos conocer el número de escritorios, sillas y armarios que se deben fabricar en una semana de trabajo, es decir que tendremos tres variables de decisión que simbolizarán:   X1= número de escritorios que se fabrican en una semana de trabajo X2= número de sillas que se fabrican en una semana de trabajo X3= número de armarios que se fabrican en una semana de trabajo

Ahora analizaremos lo siguiente: ¿Para qué deseamos saber la orden de producción semanal? Entendemos que es necesario para saber como MAXIMIZAR las utilidades, esto nos lleva a entender que el OBJETIVO es MAXIMIZAR y que lo que modelaremos como FUNCIÓN OBJETIVO será una función referente a las UTILIDADES. Teniendo en cuenta esto buscaremos la información que hable sobre las utilidades, para esto leamos la siguiente información del problema: “… Escritorios, sillas y armarios que presentan las siguientes utilidades por unidad respectivamente: $35.000, $12.000 y $30.000”. Es decir que la función objetivo a la que llamaremos Z la podemos escribir matemáticamente como: 𝑍=35.000 𝑥 1 +12.000 𝑥 2 +30.000 𝑥 3 Esto se puede interpretar de la siguiente manera: La ganancia semanal total es de $35.000 por cada escritorio fabricado (x1) más $12.000 por cada silla fabricada (x2) más $30.000 por cada armario producido (x3)

OBSERVACIONES: Ahora procederemos a analizar las restricciones: Para esto analicemos que limitantes y condiciones tenemos: Existe un tiempo disponible para el proceso de corte y ensamble Existe un tiempo disponible para el proceso de acabados y pintura Existe una condición definida por la gerencia para la orden de producción Ahora analicemos cada una de forma independiente (enfocándonos en cada cosa separadamente)

Tiempo de corte y ensamble: Se dispone de 40 horas semanales totales, se sabe que para fabricar un escritorio se gastan 2 horas, 1 hora para una silla y 3 horas para cada armario en este proceso 2 𝑥 1 + 𝑥 2 +3 𝑥 3 ≤40 Esto se traduce como: El tiempo total para corte y ensamble es: 2 horas por cada escritorio fabricado (x1) más 1 hora por cada silla más 3 horas por cada armario y NO PUEDE PASAR (se dispone) de 40 horas (De ahí el signo “menor o igual”) Tiempo de acabado y pintura: Se dispone de 30 horas semanales totales, se sabe que para fabricar un escritorio se gastan 4 horas, 30 minutos (media hora) para una silla y 2 horas para cada armario en este proceso 4 𝑥 1 + 1 2 𝑥 2 +2 𝑥 3 ≤30 Esto se traduce como: El tiempo total para acabados y pintura es: 4 horas por cada escritorio fabricado (x1) más media hora por cada silla más 2 horas por cada armario y NO PUEDE PASAR (se dispone) de 30 horas (De ahí el signo “menor o igual”); Nótese que todo se escribe en las mismas unidades de tiempo (horas en este caso)

Limitante por decisión de la gerencia: “…adicionalmente la gerencia ha determinado que deben producirse como mínimo 10 muebles (combinados de cualquier forma) por semana” 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 ≥10 Esto se traduce como: El número de muebles totales fabricados es: número de escritorios fabricados (x1) más número de sillas más número de armarios producidos y DEBEN SER MÁS (como mínimo) de 10 (De ahí el signo “mayor o igual”) Adicionalmente de forma imperceptible aparece una restricción adicional dado que el número de unidades producidas de cualquier mueble no puede ser un valor negativo. A esta restricción la llamaremos “restricción de NO negatividad” y la escribiremos matemáticamente como: 𝑥 𝑖 ≥0 Ahora procederemos a presentar el modelo completo, pero es importante tener una estructura especial para esto

PRESENTACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO DEL PROBLEMA DE P.L MODELO EN FORMA GENERAL MODELO PARA EL EJEMPLO 𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑜 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑆𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎: 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑁𝑂 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑀𝑎𝑥 𝑍=35.000 𝑥 1 +12.000 𝑥 2 +30.000 𝑥 3 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎: 2 𝑥 1 + 𝑥 2 +3 𝑥 3 ≤40 4 𝑥 1 + 1 2 𝑥 2 +2 𝑥 3 ≤30 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 ≥10 𝑥 𝑖 ≥0

Conclusiones Para modelar matemáticamente problemas de programación lineal debemos identificar maximización o minimización de un parámetro y restricciones describibles conformas lineales y luego: Identificar las variables de decisión Identificar objetivo Identificar función objetivo Identificar restricciones Presentar el modelo

REFERENCIAS TAHA, H. (2012). Investigación de operaciones Novena edición. México. Pearson HILLIER, F & LIEBERMAN, G. (2015). Introducción a la investigación de operaciones décima edición. México. McGraw Hill