Matemáticas 1º Bachillerato CT NÚMEROS REALES U.D. 1 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

ORDENACIÓN EN R DESIGUALDADES U.D. 1.2 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT ORDENACIÓN EN R Dados dos números reales a y b, se dice que a ≤ b si y sólo si b – a es positivo o cero. La relación es una relación de orden en R, ya que cumple las siguientes propiedades: Reflexiva: a ≤ a Ejemplo: 5 ≤ 5 Antisimétrica: si a ≤ b y b ≤ a  a = b Ejemplo: 5 ≤ a y a ≤ 5  a=5 Transitiva: si a ≤ b y b ≤ c  a ≤ c Ejemplo: e ≤ 3 y 3 ≤ π  e ≤ π @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT DESIGUALDADES La relación de orden en R, <, permite utilizar las siguientes expresiones entre desigualdades: Signo: Se lee: a < b a es siempre MENOR que b 2 < 5 2 es siempre MENOR que 5 a ≤ 7 a es MENOR o IGUAL que 7 a ≤ b a es MENOR o IGUAL que b a > b a es siempre MAYOR que b 0 > – 3 0 es siempre MAYOR que – 3 a ≥ b a es MAYOR o IGUAL que b 5 ≥ b 5 es MAYOR o IGUAL que b @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT PROPIEDADES Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo número, no varía el sentido de la misma. Si – 3 > 1  – 3 + 4 > 1 + 4  1 > 5 Si 3 > – 2  3 – 4 > – 2 – 4  – 1 > – 6 Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica por un número real positivo, no cambia el signo. Si – 2 < 5  3.(– 2) < 3.5  – 6 < 15  Si 2 > – 1  5.2 > 5.(– 1)  10 > – 5 Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica por un número real negativo, la desigualdad cambia el signo. Si 2 > (– 1)  (– 2).2 ? (– 2).(– 1)  – 4 < 2 Si – 3 < – 1  (– 5).(– 3) ? (– 5).(– 1)  15 > 5 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Gráfica de Racionales REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES ( Q ) NÚMEROS NATURALES ( N ) 0 1 2 3 4 R Mediante un punto negro representamos el 1, el 3 y el 4 NÚMEROS ENTEROS ( Z ) - 2 - 1 0 1 2 R Mediante un punto negro representamos el - 1, el 1 y el 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT NÚMEROS FRACCIONARIOS Sea el número 2 / 3 , que es un número fraccionario puro ( menor que la unidad). d d d 0 2 / 3 1 R @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Método de representación. Sobre el eje real, R, se señala la unidad de medida, el 1. Desde el origen, el O, se traza una recta cualquiera. Se divide dicha recta en tres segmentos iguales de medida cualquiera, d. Se une el estremo final de los tres segmentos con el 1 de la recta real. Se trazan paralelas a la última línea trazada desde las divisiones de los segmentos a la recta real R. La unidad de medida, del O al 1, de la recta real ha quedado dividido en tres segmentos iguales. Como queremos representar el número racional 2/3, tomamos dos de los tres segmentos ocasionados. Tenemos ya el punto que representa la medida exacta del número racional 2/3. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT OTRO EJEMPLO Sea el número 7 / 4 , que es un número fraccionario mixto 7 / 4 = 4 / 4 + 3 / 4 = 1 + 3 / 4. d d d d 0 1 7/4 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Método de representación. Sobre el eje real, R, se señala la unidad de medida, el 1 y la 2. A partir del 1 hay que llevar 3 / 4 sobre la recta real. Desde el 1 se traza una recta cualquiera. Se divide dicha recta en cuatro segmentos iguales de medida cualquiera, d. Se une el extremo final de los cuatro segmentos con el 2 de la recta real. Se trazan paralelas a la última línea trazada desde las divisiones de los segmentos a la recta real R. La unidad de medida, del 1 al 2, de la recta real ha quedado dividido en cuatro segmentos iguales. Como queremos representar el número racional 3/4, tomamos tres de los cuatro segmentos ocasionados. Tenemos ya el punto que representa la medida exacta del número irracional 7/4 = 1 + 3 / 4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Gráfica de Irracionales NÚMEROS IRRACIONALES DE LA FORMA √N Sea el número √2 Por Pitágoras: Hipotenusa = √ [(1)2 + (√1)2 ] = √ [1+1] = √2 1 √2 0 1 √2 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Sea el número √3 Por Pitágoras: Hipotenusa = √ [(1)2 + (√2)2 ] = √ [1+2] = √3 1 √2 √3 √2 0 1 √3 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Sea el número √13 Por Pitágoras: Hipotenusa = √ [(2)2 + (√3)2 ] = √ [4+9] = √13 1 √2 √13 3 2 0 1 2 3 √13 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS IRRACIONALES INTERVALOS ENCAJADOS Los números irracionales, salvo √N , no se pueden representar de forma exacta sobre el eje real. Para representarlos de forma aproximada utilizamos los INTERVALOS ENCAJADOS. Sea el número irracional x = 2,123703… Como su valor está entre el 2 y el 3  2 < x < 3 Como su valor está entre 2,1 y 2,2  2,1 < x < 2,2 Como su valor está entre 2,12 y 2,13  2,12 < x < 2,13 Y así podríamos seguir indefinidamente, cada vez con intervalos más pequeños, encajados, dentro de los intervalos anteriores. Con ello, por aproximación, nos iríamos acercando al valor real del número. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT En el ejemplo anterior: Sea el número irracional x = 2,123703… 2,123 2,124 2,12 2,13 2,1 2,2 2 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT