Unidad 2 Capítulo VIII Ecuación de Bernoullí

U-2. Cap. VIII. Ecuaciones no lineales (Segunda parte) Otro conjunto de ecuaciones diferenciales de 1er orden no lineales corresponde con dos ecuaciones características que se resuelven por medio de su transformación en formas lineales. La primera de ellas se denomina Ecuación de Bernoullí, que se transforma en una ecuación lineal de 1er orden. En el caso de la segunda, conocida como Ecuación de Riccati, se propone un método que la transforma en una ecuación diferencial ordinaria lineal de 2° orden, cuyos métodos de solución se desarrollarán posteriormente.

Las ecuaciones diferenciales de primer orden de la forma: U-2. Cap. VIII. Ecuaciones no lineales (Segunda parte) Las ecuaciones diferenciales de primer orden de la forma: con n  R, se conocen como ecuaciones de Bernoullí. Cuando n = 0 o 1; esta ecuación se transforma en una ecuación lineal cuyo método de solución se conoce ya. En caso contrario, la ecuación de Bernoulli no es lineal y, de acuerdo con Leibniz (1696), la transformación v = y1n la reduce a una ecuación una ecuación diferencial lineal de primer orden en v.

Ejemplo: Resuelva la siguiente ecuación de Bernoullí: U-2. Cap. VIII. Ecuaciones no lineales (Segunda parte) Ejemplo: Resuelva la siguiente ecuación de Bernoullí: Solución: La forma general de esta ecuación es: en donde n = 3, por lo que la función de transformación tiene la forma v = y13 = y2 y su derivada es: Al sustituir y simplificar, la ecuación original resulta en: una ecuación lineal

El factor integrante de ésta última ecuación es: U-2. Cap. VIII. Ecuaciones no lineales (Segunda parte) El factor integrante de ésta última ecuación es: Así, la solución de la ecuación lineal es: y como la solución de la ecuación de Bernoullí es: o bien

Ejemplo: Resuelva el problema de valor inicial: U-2. Cap. VIII. Ecuaciones no lineales (Segunda parte) Ejemplo: Resuelva el problema de valor inicial: Solución: En este problema n = 4, por lo que: Así, al sustituir y simplificar se tiene: El factor integrante y la solución de la ecuación son:

Ahora, partiendo de que , se tiene: U-2. Cap. VIII. Ecuaciones no lineales (Segunda parte) Ahora, partiendo de que , se tiene: La solución general de la ecuación de Bernoullí es: y usando la condición inicial: @ x = 0, y = 1: Se obtiene la siguiente solución particular: