Curso de Estabilidad IIb Ing. Gabriel Pujol Estados de Tensión y Deformación Tensor de Tensiones Ejercicio N° 1 de la Guía de Problemas Propuestos Curso de Estabilidad IIb Ing. Gabriel Pujol Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

Veamos la definición de Tensión: Introducción Con el objeto de explicar cómo se transmiten a través de los sólidos las fuerzas externas aplicadas, es necesario introducir el concepto de tensión, siendo este, el concepto físico más relevante de la mecánica de los medios continuos, y de la teoría de la elasticidad. Se denomina tensión a la magnitud física que representa la fuerza por unidad de área en el entorno de un punto material sobre una superficie real o imaginaria de un medio continuo. Dependiendo de la orientación del plano en cuestión, el vector tensión puede no ser perpendicular al mismo, y puede descomponerse en dos vectores: una componente normal al plano, llamada tensión normal (), y otro componente contenida en el plano, denominada tensión cortante (). Veamos la definición de Tensión:

Consideremos el equilibrio de un tetraedro elemental ABCD: Introducción Conociendo x, y, z, xy, yz, xz la tensión  que se ejerce sobre un plano que pasa por A, cuya normal tiene por cosenos directores (l, m, n) y considerando que… x y z A …si ds es el área de la cara BCD, las áreas de las caras ACD, ABD y ABC serán respectivamente: l.ds, m.ds, n.ds… D ds  …el equilibrio del tetraedro conduce a las siguientes ecuaciones: l.ds y yx x xy m.ds yz xz B zy zx n.ds z C Consideremos el equilibrio de un tetraedro elemental ABCD:

Consideremos el equilibrio de un tetraedro elemental ABCD: Introducción … siendo las componentes x, y, z … … estas relaciones muestran que el conjunto de las tensiones alrededor de un punto forman un tensor simétrico: z y x A n (normal al plano BCD)  (proyección de  sobre el plano BCD) D z  x y z xy xz zx yx zy yz  … siendo además:  (proyección de  sobre la normal n) x  y B … donde: C Consideremos el equilibrio de un tetraedro elemental ABCD:

Introducción …por lo tanto: El vector  tendrá las siguientes componentes: x, y, z referidas al la terna x, y, z … … y las siguientes componentes: ,  referidas a la normal n y al plano BCD … z y x A n (normal al plano BCD) Las componentes x, y, z son invariantes para un determinado estado tensional, pero las ,  dependerán del plano de referencia… D z  … por lo tanto habrá un plano para el cual, las tensiones  serán máximas y las tensiones  mínimas (min = 0) …  x  … estas direcciones definen las direcciones principales y las tensiones  correspondientes serán las tensiones principales. y B C …por lo tanto:

Veamos el siguiente ejemplo: Enunciado Referido a una terna (x, y, z) se ha determinado para un plano cuya normal “n” exterior tiene los cosenos directores (l, m, n) que las componentes del vector de tensión  son (x, y, z). Se pide: Escribir las ecuaciones vectoriales de los vectores “n” y . Determinar la componente normal  y la tangencial . Hacer la figura de análisis. Datos: l = 0,4; m = 0,6; x = 20 MN/m2; y = 100 MN/m2; z = 30 MN/m2 Veamos el siguiente ejemplo:

Definiremos primero el valor del coseno director “n”: Resolución Siendo: …por lo tanto, el vector “n” será: …y el vector  resulta: Definiremos primero el valor del coseno director “n”:

Determinamos la componente normal  y la tangencial : Resolución Las determinamos como sigue… …calculamos el módulo del vector tensión : …calculamos su proyección sobre la normal al plano “n” por medio de producto escalar : …y siendo: Determinamos la componente normal  y la tangencial :

…y la figura de análisis será: Resolución z y x A x y z  n (normal al plano BCD) C D B   …y la figura de análisis será:

Bibliografía Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

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