El conjunto de los números naturales Los números naturales pueden ser introducidos con un conjunto N de clase inductiva, como el mínimo conjunto inductivo. Giuseppe Peano, Cuneo-Piamonte, (1858 – Turín, 1932) introdujo los números naturales mediante un sencillo teorema consistente en cinco afirmaciones denominadas Postulado de Peano o Axiomas de Peano para los números naturales, que permiten, pues, estructurar algébricamente el conjunto N. Así, puede definirse el conjunto N como un conjunto que verifica las siguientes condiciones axiomáticas:

Los Axiomas de Peano o postulados de Peano Son un conjunto de axiomas para los números naturales introducidos por Giuseppe Peano en el siglo XIX. Los axiomas de Peano no se ocupan del significado de "número natural", sino que lo suponen y pretenden encontrar un sistema simple de axiomas que caractericen los números naturales y nos permitan deducir a partir de estos, las propiedades de los números naturales, utilizando las reglas de la lógica.

Los Axiomas de Peano o postulados de Peano 1)Existe un número natural, que llamaremos uno y designaremos por 1. 2) Todo elemento n de N tiene un sucesor que es el elemento n* de N, (si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural). 3) El uno no es sucesor de ningún elemento de N (otro número natural) . 4) Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural. (Dos elementos de N distintos no tienen igual sucesor). 5) Todo subconjunto N’ de N, para el cual se verifique que contenga al uno, y que el sucesor de cualquier elemento de N’ está en N’, coincide con N. (Axioma de la Inducción). Si el 1 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto. Este es el axioma de inducción, y captura la idea de Inducción matemática.

PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA El principio de inducción fue creado para poder demostrar que efectivamente, sin importar los símbolos que use para listar los naturales, si cumplen las propiedades de los naturales… son los naturales.

EL METODO DE INDUCCIÓN La última afirmación del Teorema Peano, también llamada Axioma de la Inducción Completa permite probar resultados con los números naturales generalizando situaciones particulares. Si una propiedad que se verifica para un número natural n se verifica también para su sucesor, s(n), cualquiera que sea n, entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito. Si sabemos, además, que se verifica para el uno, el primero de los números naturales, que no es sucesor de ningún otro, entonces hay que concluir que la propiedad se verifica en todo N. Es decir, para probar que algo, una propiedad, se cumple en todos los números naturales, basta comprobar primero que se cumple para el 1, y, a continuación, suponer que se cumple para un natural n, y, desde aquí, deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente, n+1.

Una técnica muy sencilla consiste en definir un conjunto N’, subconjunto de N, formado por los elementos que verifican la propiedad a demostrar. Si logramos demostrar que para cualquier elemento a N’ se cumple que su sucesor, y el uno, que N’ es inductivo, entonces habrá de concluirse que se verifica la propiedad en todo N, esto es, que N’ = N

En realidad, el nombre que le damos de “inducción matemática” se debe simplemente a que lo asociamos en nuestra consciencia con los razonamientos inductivos basados en las experiencias de las ciencias naturales y sociales, a pesar de que el paso inductivo de la demostración es una proposición general que se demuestra como un riguroso proceso deductivo.

La inducción matemática es un método de demostración que se utiliza cuando se trata de establecer la veracidad de una lista infinita de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro n que toma una infinidad de valores, usualmente en el conjunto de los enteros naturales N. El método se utiliza para demostrar una variedad de situaciones en la ciencia de la computación así como para verificar que todo entero positivo satisface cierta fórmula o para demostrar que un programa de computación o que un algoritmo con ciclos funciona como se espera.

Este procedimiento de demostración de fórmulas cuantificadas universalmente, consiste en verificar primero que se cumple para los casos llamados básicos, y después, suponiendo que se cumple para los casos anteriores, se verifica para un elemento típico k arbitrario. Este último paso es llamado “inductivo''. Se concluye entonces que la fórmula vale para cualquier término sucesivo k+1.

Procedimiento El esquema del razonamiento es el siguiente: Sea   P   una propiedad definida en los números naturales ( enteros positivos). Si   1   satisface esa propiedad y además si a partir de cualquier natural   n   que satisface esa propiedad se llega a que   n   +   1 , también la satisface, entonces cada número natural la satisface. Para probar que una propiedad   P   se cumple en los números naturales, usando el principio de inducción matemática, se siguen los siguientes pasos: 1° )  Se comprueba para   n   =   1     ( Comprobación ) . 2° )  Se asume que se cumple para   n   =   k     ( Hipótesis de inducción ) . 3° )  Se predice que se cumple para   n   =   k   +   1     ( Tesis ) . 4° )  Se demuestra que si se cumple para   n   =   k  ,  entonces se cumple para   n   =   k   +   1     ( Demostración ) .

Ejemplos