SISTEMAS U. D. 5 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN U. D. 5.1 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

REGLAS DE RESOLUCIÓN SOLUCIÓN DE UN SISTEMA Resolver un sistema es hallar los valores de las incógnitas que cumplen con todas y cada una de las ecuaciones. Sea el sistema x + y = 2 x – y = 0 Como se puede apreciar por su sencillez la única solución posible es x = 1 e y = 1, pues son los valores de las incógnitas que hacen posible que se cumplan las dos igualdades. Si un sistema tiene una o más soluciones se llama COMPATIBLE; de lo contrario es INCOMPATIBLE. Si tiene una única solución el sistema de ecuaciones lineales es DETERMINADO; y si tiene infinitas soluciones es INDETERMINADO. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Regla de la suma 1.- Si a los dos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o resta un mismo número o expresión algebraica, resulta otro sistema equivalente al dado. Ejemplo: Sea el sistema x + y = y + 2 (1) x – y = 0 (2) A ambos miembros de la ecuación (1) les restamos y, quedando el sistema equivalente al dado: x = 2 (1) x – y = 0 (2) Que tiene la ventaja de, al conocer el valor de x, poder hallar rápida y fácilmente el valor de y. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Regla del producto 2.- Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación de un sistema por un mismo número o expresión algebraica distinto de cero, resulta otro sistema equivalente al dado. Ejemplo: Sea el sistema x + y ------- + 3 = 2 (1) x x – y = - 3 (2) A ambos miembros de la ecuación (1) les multiplicamos por x, quedando el sistema equivalente al dado: x + y + 3.x = 2.x (1)  2.x + y = 0 (1) x – y = - 3 (2)  x – y = - 3 (2) Que tiene la ventaja de eliminar denominadores. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Regla de la combinación 3.- Si en un sistema a una ecuación la sumamos o restamos otra multiplicada por un número, el nuevo sistema resultante es EQUIVALENTE al primero, o sea tiene la misma solución. Ejemplo: Sea el sistema 3.x + y = 5 (1) x – y = - 1 (2) A la ecuación (1) la restamos la ecuación (2) multiplicada por 3, quedando: 3.x + y – 3.(x – y) = 5 – 3.(-1) (1) x – y = - 1 (2) 3.x + y – 3.x + 3.y = 5 + 3 (1) El sistema 4.y = 8 (1) es equivalente al dado. x – y = - 1 (2) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN Para resolver un sistema de ecuaciones lineales existen varios métodos: Método de Sustitución: Es el más empleado, pues permite resolver la mayoría de los sistemas, tanto de ecuaciones lineales como cuadráticas, exponenciales o logarítmicas. Método de Igualación: Es una variante del método anterior, utilizada muy puntualmente. Método de Reducción: Es muy empleado para sistemas lineales con igualdad de coeficientes, y especialmente para sistemas cuadráticos. Método Gráfico: Es el menos preciso de los métodos, estando indicado para adelantar soluciones aproximadas. Método de Gauss: Empleado para sistemas lineales de tres o más ecuaciones. Se imparte en Bachillerato @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Método de Sustitución Si en una ecuación de un sistema se sustituye una incógnita por la expresión que se obtiene al despejarla de la otra ecuación, resulta otro sistema equivalente. Ejemplo 1 Sea el sistema: x + 3.y = 4 (1) 3.x - y = 2 (2) De la ecuación (1) se despeja la incógnita “x” : x = 4 – 3.y Y se sustituye su expresión en la ecuación (2) : 3 (4 – 3.y) – y = 2 Operando … 12 – 9.y – y = 2  12 – 2 = 9.y + y  10 = 10.y  y = 1 Llevando ese valor a la ecuación ( 1 ), tenemos … x = 4 – 3.y = 4 – 3.1 = 4 – 3 = 1 , o sea x = 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Otro ejemplo Sea el sistema: x + y = 2 (1) x – y = 0 (2) Ya hemos visto que la solución es el par (1 , 1). Veamos si nos da esa solución: De la ecuación (1) se despeja la incógnita “x” : x = 2 – y Y se sustituye su expresión en la otra ecuación: (2 – y) + y = 2 Operando … 2 – y + y = 2  2 = 2 La ecuación siempre se cumple, valga lo que valga y. Luego la ecuación es indeterminada: y = infinitas soluciones. Como x = 2 – y , x también tendrá infinitas soluciones. ¿Dónde está el fallo, puesto que debía darnos x=1 e y=1 ?. No hay ningún error. El par (1,1) es una de las infinitas soluciones. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Método de Reducción TEOREMA PREVIO: Regla de la combinación. Si en un sistema a una ecuación la sumamos o restamos otra multiplicada por un número, el nuevo sistema resultante es EQUIVALENTE al primero, o sea tiene la misma solución. PASOS 1.- Buscamos que los coeficientes de una incógnita cualquiera (x o y) sean iguales pero de signo contrario, multiplicando por los números convenientes a una o ambas ecuaciones. 2.- Restamos las ecuaciones para eliminar una de las incógnitas. 3.- Resolvemos la ecuación resultante, con lo que hallamos el valor de una de las incógnitas. 4.- Sustituimos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones iniciales y resolvemos la nueva ecuación, con lo que hallamos el valor de la otra incógnita. 5.- Comprobamos la solución obtenida. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ejemplos Sea el sistema: x + 3.y = 4 (1) 3.x - y = 2 (2) Multiplicamos la ecuación (1) por 3, resultando otra EQUIVALENTE, pero teniendo el mismo coeficiente en x. 3.x + 9.y = 12 (1) 3.x - y = 2 (2) A la ecuación (1) la resto la (2), quedando: 3.x + 9.y = 12 (1) 3.x - y = 2 (2) 3.x – 3.x + 9.y – ( - y ) = 12 – 2 10 y = 10  y = 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Sustituyendo el valor de “y” en la ecuación (1) , tenemos: x + 3.1 = 4 La solución del sistema es: x = 1 , y = 1 La solución es la misma que por los otros Métodos. Otro ejemplo Sea el sistema: 2.x + 3.y = 12 (1) 3.x – 4.y = 1 (2) Multiplicamos la ecuación (1) por 4 y la ecuación (2) por 3 , resultando otro sistema de ecuaciones EQUIVALENTES, con el mismo coeficiente en las y: 8x + 12y = 48 (1) 9x - 12y = 3 (2) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

A la ecuación (3) la sumo la (4), quedando: 8x + 12y = 48 (1) 8x + 9x + 12y – 12y = 48 + 3 17 x = 51  x = 51 / 17  x = 3 Sustituyendo el valor de “x” en la ecuación (1) , tenemos: 2.3 + 3.y = 12  3y = 12 – 6  3y = 6  y = 2 La solución del sistema es: x = 3 , y = 2 Que se puede comprobar. Como se ve, la solución es la misma que por los otros Métodos. Tercer ejemplo Sea el sistema: x + 3.y = 8 (1) x + 3.y = 1 (2) Aplicamos el M. de Reducción restando ambas ecuaciones: 0 = 7 La expresión resultante no nos permite obtener el valor de x o de y. Además, como la expresión es falsa, significa que el sistema es incompatible (no tiene solución). @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.