INECUACIONES U. D. 6 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

INECUACIONES LINEALES U. D. 6.1 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Identidad, ecuación e inecuación Es toda igualdad que siempre se cumple, sea cual seas el valor de la incógnita o incógnitas: x = x (x – 2).(x + 2) = x2 – 4 ECUACIÓN Es una igualdad que sólo se cumple para uno o varios valores concretos de la incógnita o incógnitas que intervienen: 2x = 4  Sólo para x = 2 x2 = 4  Sólo para x = 2 y para x = - 2 INECUACIÓN Es una desigualdad que se cumple en un intervalo finito o infinito de valores de la incógnita o incógnitas que intervienen: x < 2  ( - oo , 2 ) x ≥ - 4  [ - 4 , + oo ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

CASUÍSTICA DE INECUACIONES CASOS A CONSIDERAR CON INECUACIONES 1.1 INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA Se despeja la incógnita y se interpreta la solución. Admite representación gráfica. 1.2 INECUACIONES CUADRÁTICAS Y POLINÓMICAS Se factoriza y mediante la regla de los signos se deduce la solución. Admite representación y resolución gráfica. 1.3 INECUACIONES RACIONALES Se factoriza y mediante la regla de los signos se deduce la solución, donde los ceros del denominador no pueden formar parte de la misma. 1.4 INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Se despeja una incógnita, generalmente la “y” y se resuelve gráficamente. La gráfica es una línea recta, continua o discontinua. No tiene solución analítica 1.5 INECUACIONES NO LINEALES CON DOS INCÓGNITAS La gráfica es una parábola, hipérbola, etc, continua o discontinua. No tiene solución analítica @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Inecuaciones con una incógnita Una inecuación es toda desigualdad en la que intervienen incógnitas o valores desconocidos. En las desigualdades se emplean símbolos que es necesario saber leer e interpretar. Signo: Se lee: x < - 3 x es siempre MENOR que - 3 x ≤ 5 x es MENOR o IGUAL que 5 x > 7 x es siempre MAYOR que 7 x ≥ - 2 x es MAYOR o IGUAL que - 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Soluciones y equivalencia SOLUCIONES DE UNA INECUACIÓN Las soluciones de una inecuación son los valores que pueden tomar las incógnitas, tales que al sustituirlos en la inecuación la desigualdad sea cierta. Ejemplos: x > 4  x = 5 es solución; también x = 6, x = 7, etc x2 – 4 < 0  x = 1 es solución; también x = - 1 , x = 0, etc EQUIVALENCIA DE INECUACIONES Dos o más inecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución. x > 4 y x – 4 > 0 son inecuaciones equivalentes. x2 – 4 < 0 y (x + 2).(x – 2) < 0 son equivalentes. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Soluciones gráficas 1.- 2 + x ≥ 4  x ≥ 4 – 2  x ≥ 2 Solución = [ 2, + oo ) Como x puede valer 2, se empleará intervalos semicerrados. En la gráfica, la inclusión del 2 se representa por un punto sólido. 2.- 2x < x -5  2x – x < - 5  x < - 5 Solución = ( - oo, - 5 ) Como x no puede valer - 5, se empleará intervalos abiertos. En la gráfica, la exclusión del - 5 se representa por un punto hueco. R 2 R - 5 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Resolución de inecuaciones PRINCIPIOS DE EQUIVALENCIA PRIMERO Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o resta un mismo número o expresión algebraica, resulta una inecuación equivalente a la dada. Si x – a > b  x – a + a > b + a  x > b + a Si x + a < b  x + a – a < b – a  x < b – a Ejemplos numéricos: x – 3 > 1  x – 3 + 3 > 1 + 3  x > 4 x + 2/3 ≤ – 4  x + 2/3 –2/3 ≤ –4 –2/3  x ≤ – 14/3 4/5 – x ≥ 3  4/5 – x – 4/5 ≥ 3 – 4/5  – x ≥ 11/5  – 1/5 ≥ x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Resolución de inecuaciones PRINCIPIOS DE EQUIVALENCIA SEGUNDO Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica (o divide) por un número real positivo, resulta una inecuación equivalente a la dada. Si x / a < b  a. x / a < a. b  x < a.b , siendo a > 0 Si a.x > b  a. x / a > b / a  x > b / a , siendo a > 0 Ejemplos numéricos: x / 3 > 1  3 .x / 3 > 3.1  x > 3 5 .x ≤ – 4  5.x / 5 ≤ –4 / 5  x ≤ – 4/5 – x / (2/3) ≥ 3  (2/3). (– x) / (2/3) ≥ (2/3).3  – x ≥ 2  – 2 ≥ x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Resolución de inecuaciones PRINCIPIOS DE EQUIVALENCIA TERCERO Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica (o divide) por un número negativo, resulta una inecuación equivalente a la dada, pero con el signo de desigualdad contrario al de la inecuación original. Si – x < a  (– k).(– x ) > (– k).a  x > – a Si x > b  (– k). x < (– k). b  – x < – b Ejemplos numéricos: – x > 3  (– 1).x < (– 1).3  x < – 3 – 5 .x ≤ 4  – 5.x / (– 5) ≥ 4 / (– 5)  x ≥ – 4/5 – x / (2/3) ≥ 3  (– 2/3). (– x) / (2/3) ≤ (– 2/3).3  x ≤ –2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ejercicios resueltos SOLUCIONES: Sean las inecuaciones: 1.- 2 + x ≥ 4 2.- 2x ≤ x -5 3.- x > x + 2 SOLUCIONES: 1.- 2 + x ≥ 4  x ≥ 4 – 2  x ≥ 2 Solución = [ 2, + oo ) 2.- 2x < x -5  2x – x < - 5  x < - 5 Solución = ( - oo, - 5 ) 3.- x > x + 2  x - x > 2  0 > 2 FALSO Solución = Ø (Conjunto vacío) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

------------ + 2 < ------ 5 3 SOLUCIÓN: 3.(x – 1) + 30 5.x ------- + 3 ≥ 4 2 SOLUCIÓN: x + 1 + 6 -------------- ≥ 4 x + 7 ≥ 8 x ≥ 8 – 7 x ≥ 1 Solución = [ 1 , oo ] 5.- x – 1 x ------------ + 2 < ------ 5 3 SOLUCIÓN: 3.(x – 1) + 30 5.x -------------------- < --------- 15 15 3.(x – 1) + 30 < 5.x 3.x – 3 + 30 < 5.x – 3 + 30 < 5.x – 3.x 27 < 2.x  x > 13,5 Solución = ( 13,5 , oo ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.