Apuntes Matemáticas 2º ESO Angel Prieto Benito U. D. 11 * 4º ESO E. AP. FUNCIONES ELEMENTALES @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. Ver dinámica en www.apbweb.es

Apuntes Matemáticas 2º ESO Angel Prieto Benito U. D. 11.7 * 4º ESO E. AP. OTRAS FUNCIONES EXPONENCIALES @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. Ver dinámica en www.apbweb.es

FUNCIÓN EXPONENCIAL Se llama FUNCIÓN EXPONENCIAL a la expresión: y = ex  f (x) = ex Es decir una potencia donde la base es el número “e” y el exponente la variable “x”. El número “e” es el número irracional de valor e = 2,718281 Funciones exponenciales son también: f(x) = ax , donde a debe ser un número positivo. g(x) = ef(x) , donde el exponente es otra función. h(x) = af(x) , donde a > 0 y el exponente es otra función. En general funciones exponenciales son todas aquellas potencias donde la variable independiente, x, forme parte del exponente. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

La función y = ax, (0<x<1) 8 y Sea y = (1 / 2)x Donde la base, a, vale ½ . Muy importante: Siempre a > 0 Tabla de valores x y - 4 16 - 3 8 - 2 4 - 1 2 0 1 1 1/2 2 1/4 3 1/8 4 Gráfica 2 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Características de y = ax, (0<x<1) Sea la función: f(x) = ax La diferencia más importante de las funciones con ( 0 < a < 1 ) y a > 1 , es el CRECIMIENTO. Si 0 < a < 1  La función es DECRECIENTE. Si a = 1  La función es CONSTANTE f(x) = 1  No es f. exponencial. Si a > 1  La función es CRECIENTE. y f(x) = 2x f(x) = (1/2)x - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Correspondencia f(x) = 0,5 x f(x) = 2x f(x) = 2-x Sea la función: f(x) = ax La función f(x) = a-x es idéntica a f(x) = (1/a)x Veamos que es así: 1 1 x f(x) = a-x = ----- = --------- = ( 1/a) x a x a x Ejemplos f(x) = 2 - x = (1/2) x = 0,5 x f(x) = 3 - x = (1/3) x f(x) = e - x = (1/e) x f(x) = 4 - x = (1/4) x = 0,25 x f(x) = 0,1 - x = (1/0,1) x = 10 x y f(x) = 0,5 x f(x) = 2x f(x) = 2-x - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

TRASLACIÓN DE EXPONENCIALES TRASLACIÓN HORIZONTAL Sea una función de la forma y = 2x Si deseamos o necesitamos trasladar su gráfica horizontalmente “a” unidades, la función se convertirá en: y = 2(x – a) Si a > 0 La gráfica se desplaza a unidades a la DERECHA. El punto de corte con el eje de ordenadas será Pc(0 , f(0)) La asíntota horizontal sigue siendo el eje de abscisas. Si a < 0 La gráfica se desplaza a unidades a la IZQUIERDA. El punto de corte con el eje de ordenadas será Pc(0, f(0)) No confundir el que “a” sea un número negativo con el signo “ – “ de (x – a). @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo de traslación horizontal Sea f(x) = 2(x +3) Al ser el exponente (x + 3), el valor del desplazamiento es negativo. a = – 3 La función f(x) = 2x se ha desplazado 3 unidades a la izquierda El punto de corte es: Pc(0, f(0)) Pc(0 , 23) = (0 , 8) Vemos que la asíntota vertical sigue siendo el eje de abscisas. y Pc(0, 8) f(x) = 2x f(x) = 2(x – 3) - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

TRASLACIÓN DE EXPONENCIALES TRASLACIÓN VERTICAL Sea una función de la forma y = 2x Si deseamos o necesitamos trasladar su gráfica verticalmente “b” unidades, la función se convertirá en: y = 2x + b Si b > 0 La gráfica se desplaza b unidades hacia ARRIBA. El punto de corte con el eje de ordenadas será Pc(0 , (1+b)) La asíntota horizontal será ahora y = b. Si b < 0 La gráfica se desplaza b unidades hacia ABAJO. El punto de corte con el eje de ordenadas será Pc(0, (1 – b)) La asíntota horizontal será ahora y = – b. No confundir el que “a” sea un número negativo con el signo “ – “ de (x – a). @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo de traslación vertical Sea f(x) = 3 + 2x Al ser el exponente x no hay desplazamiento horizontal de la función elemental f(x) = 2x A la función elemental se la ha sumado 3 unidades. Ello equivale a desplazar la gráfica 3 unidades hacia arriba. El punto de corte es: Pc(0, f(0)) Pc(0 , 3+20) = (0 , 3+1) = (0,4) Vemos que la asíntota vertical es ahora y = 3 y f(x) = 3 + 2x Pc(0, 4) y = 3 f(x) = 2x - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

TRASLACIÓN DE EXPONENCIALES TRASLACIÓN OBLICUA Sea una función de la forma y = 2x Si deseamos o necesitamos trasladar su gráfica horizontalmente “a” unidades y verticalmente “b” unidades, la función se convertirá en: y = 2(x – a) + b Si a > 0 y/o b > 0 La gráfica se desplaza a unidades hacia la DERECHA y/o b unidades hacia ARRIBA. Si a < 0 y/o b < 0 La gráfica se desplaza a unidades hacia la IZQUIERDA y/o b unidades hacia ABAJO. El punto de corte con el eje de ordenadas será Pc(0, f(0)) La asíntota horizontal será ahora y = b. No confundir el que “a” sea un número negativo con el signo “ – “ de (x – a). @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo de traslación oblicua Sea f(x) = – 3 + 2(x – 2) Al ser el exponente (x – 2), el valor del desplazamiento es positivo: a = 2 unidades hacia la derecha. A la función elemental se la ha quitado 3 unidades. Ello equivale a desplazar la gráfica 3 unidades hacia abajo. El punto de corte es: Pc(0, f(0)) Pc(0 ,–3 +2 – 2 ) = (0 , –3 + 1/4) Pc(0, – 2`75) Vemos que la asíntota vertical es ahora y = – 3 f(x) = 2x y f(x) = –3+ 2(x – 2) - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x Pc(0, – 2’75 ) y = – 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.