ECUACIONES Y SISTEMAS U. D. 6 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

MÉTODO GRÁFICO U. D. 6.5 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Método de Igualación Es una variante del método anterior de sustitución. Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones, a continuación igualar las expresiones resultantes, resolver la ecuación única y finalmente hallar el valor de la segunda incógnita. Ejemplo_1 Sea el sistema: x + 3.y = 4 (1) 3.x - y = 2 (2) Despejamos “x” en ambas ecuaciones, quedando: x = 4 – 3y (1) x = ( 2 + y ) / 3 (2) Como x = x , las dos expresiones resultantes deben ser iguales: 4 – 3y = ( 2 + y ) / 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Operando en la proporción resultante … 12 – 9y = 2 + y 12 – 2 = y + 9y Sustituyendo ese valor en la ecuación (1): x = 4 – 3.1 x = 4 – 3 = 1 O sea x = 1 La solución del sistema es x = 1 , y = 1 La solución del sistema se comprueba: 1 + 3.1 = 4  4 = 4 3.1 – 1 = 2  2 = 2 Las soluciones son las mismas que nos había dado al aplicar el M. de Sustitución. No importa el método empleado, pues si hay solución ésta es única. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Otro ejemplo Sea el sistema: 2x + 3.y = 12 (1) 3x - 4y = 1 (2) Despejamos “x” en ambas ecuaciones, quedando: 2.x = 12 – 3.y 3.x = 1 + 4.y x = (12 – 3y) / 2 (1) x = ( 1 + 4y ) / 3 (2) Como x = x , las dos expresiones resultantes deben ser iguales 12 – 3.y 1 + 4.y ------------ = -------------- 2 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Sustituyendo ese valor en la ecuación (1): x = (12 – 3.2) / 2 Operando en la proporción resultante, para lo cual se multiplica en cruz, resulta … 36 – 9y = 2 + 8y 36 – 2 = 8y + 9y 34 = 17y y = 34 / 17 y = 2 Sustituyendo ese valor en la ecuación (1): x = (12 – 3.2) / 2 x = (12 – 6 ) / 2 x = 6 / 2 = 3 , o sea x = 3 La solución del sistema se comprueba: 2.3 + 3.2 = 12  12 = 12 3.3 – 4.2 = 1  1 = 1 La solución del sistema es: x = 3 , y = 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

RESOLUCIÓN GRÁFICA Sea el sistema: x + 3.y = 4 (1) 3.x - y = 2 (2) Se despeja “y” en ambas ecuaciones: y = (4 – x) / 3 = – x / 3 + 4 / 3 (1) y = 3.x – 2 (2) Queda como dos funciones lineales de la forma y = m.x + n. Tablas de valores: Damos tres o cuatro valores a x y calculamos los valores de y: Tabla (1) x - 2 0 2 y 2 4/3 2/3 Tabla (2) x 0 1 2 y - 2 1 4 Y llevamos los puntos a la gráfica para formar las dos rectas. Donde se corten ambas rectas será la solución. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Solución gráfica y = (4 – x) / 3 y = 3.x – 2 Solución Sistema = Pc(1, 1)  x=1, y=1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Interpretación gráfica Si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución, es compatible, las rectas son SECANTES. Si un sistema de ecuaciones lineales tiene infinitas soluciones, es compatible e indeterminado, las rectas son COINCIDENTES. Si un sistema de ecuaciones lineales no tiene ninguna solución, es incompatible, las dos rectas son PARALELAS. Ejemplos Compatible: Indeterminado: Incompatible: x + y = 2 x – y = 0 x + y = 2 x – y = 0 x = y x + y = 4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo 1 Gráfico La suma de dos números es 12, y uno de ellos es doble que el otro.¿cuáles son dichos números?. Sea x un número. Sea y el otro número. Podemos poner las ecuaciones: x + y = 12  y = 12 – x y = 2.x Hacemos las tablas: x  0 81 12 y  12 4 0 x  0 2 4 y  0 4 8 Donde se corten las dos rectas tenemos la solución del sistema. Solución: x=4, y=8 0 4 8 12 16 - 4 0 4 8 12 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo 2 Gráfico 0 8 16 24 32 Solución: x=23, y=11 - 8 0 8 16 24 Ana tiene 12 años más que Pedro y hace 5 años tenía el triple de edad que Pedro. ¿Qué edad tiene cada uno?. Sea x la edad de Ana. Sea y la edad de Pedro. Podemos poner las ecuaciones: x = y + 12 x – 5 = 3.(y – 5)  x = 3.y – 10 Hacemos las tablas: y  0 1 2 x  12 13 14 y  0 1 2 x  - 10 - 7 - 4 Donde se corten las dos rectas tenemos la solución del sistema. Solución: x=23, y=11 0 8 16 24 32 - 8 0 8 16 24 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo 3 Gráfico Juan tiene 3 € menos que Pedro, pero si gasta 5 € tendrá la mitad que Pedro.¿Cuánto tiene cada uno?. Sea x lo que tiene Juan. Sea y lo que tiene Pedro. Podemos poner las ecuaciones: x = y – 3  y = x + 3 x – 3 = ½.y  y = 2.x – 6 Hacemos las tablas: x  0 1 2 y  3 4 5 x  4 6 8 y  2 6 10 Donde se corten las dos rectas tenemos la solución del sistema. Solución: x=9, y=12 0 4 8 12 16 - 4 0 4 8 12 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo 4 Gráfico Juan pagó 5 € por dos cuadernos y un bolígrafo. Ana pagó 12 € por cuatro cuadernos y dos bolígrafos. ¿Cuánto vale cada cuaderno y cada bolígrafo?. Sea x lo que vale un cuaderno. Sea y lo que vale un bolígrafo. Podemos poner las ecuaciones: 2.x + y = 5  y = – 2.x + 5 4.x + 2.y = 12  y = – 2.x + 6 Hacemos las tablas: x  0 1 2 y  5 3 1 x  0 2 4 y  6 2 – 2 Donde se corten las dos rectas tenemos la solución del sistema. Solución: NO hay. – 2 2 4 6 - 2 0 2 4 6 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.