Geometría 2017 Clase Nº 2 Triángulos I

APRENDIZAJES ESPERADOS Identificar los elementos primarios de un triángulo y sus propiedades. Reconocer los elementos secundarios de un triángulo y sus propiedades. Clasificar los triángulos según sus lados y ángulos.

Triángulos I Definición 2. Elementos primarios  Vértices  Lados  Ángulos interiores  Ángulos exteriores 3. Elementos secundarios  Altura  Transversal de gravedad  Simetral  Bisectriz  Mediana

4. Generalidades en un triángulo cualquiera 4.1 Área o superficie 4.2 Perímetro o longitud 5. Clasificación de triángulos 5.1 Según sus ángulos 5.2 Según sus lados

1. Triángulo Definición 2. Elementos primarios Vértices: Es un polígono de tres lados. 2. Elementos primarios Vértices: Corresponde a la intersección de dos trazos, los que se identifican con letras mayúsculas. A B C En la figura, los vértices son A, B y C.

Lados: En la figura, los trazos AB, BC y CA, corresponden a los lados del triángulo ABC, los que se identifican con letras minúsculas. A B C a b c AB = c, BC = a, AC = b Teorema: La suma de dos lados debe ser siempre mayor que el tercero. a + b > c b + c > a a + c > b

Ejemplo: Determinar si existe el triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 7 cm. Para determinar si existe el triángulo, debemos verificar que se cumple el teorema. 3 + 4 = 7 No se cumple. 3 + 7 > 4 Sí se cumple. 4 + 7 > 3 Sí se cumple. Como una de ellas no se cumple, NO existe dicho triángulo.

Teorema: La diferencia positiva de dos lados debe ser siempre menor que el tercero. a - b < c b - c < a a - c < b Ejemplo: Determinar si existe el triángulo cuyos lados miden 8 cm, 5 cm y 2 cm. Para determinar si existe el triángulo, debemos verificar que se cumple el teorema. 8 - 5 = 3 > 2 No se cumple. 5 - 2 = 3 < 8 Sí se cumple. 8 - 2 = 6 > 5 No se cumple. Como una de ellas no se cumple, NO existe dicho triángulo.

Ángulos interiores: Teorema: Son aquellos que se forman por la intersección de dos lados, en el interior de la figura. A B C a, b g y son los ángulos interiores del triángulo ABC. Teorema: La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180º a + b + g = 180°

Ejemplos:

Teorema: En todo triángulo, a mayor ángulo, se opone mayor lado y viceversa. Ejemplo: En el triángulo de la figura, A B C a b c c > a > b

Ángulos exteriores: Teorema: Son los suplementos de los ángulos interiores. a´, b´ g´ y son los ángulos exteriores del triángulo de la figura. Teorema: La suma de los ángulos exteriores de todo triángulo es 360º. a´ + b´ + g´ = 360°

Teorema: Cada ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores NO adyacentes a él. a’ = b + g b’ = a + g g’ = a + b Ejemplo:

3. Elementos Secundarios Altura (h): Es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. En la figura, CD es la altura (hc) desde el vértice C. A B C hc D Ortocentro (H): Es el punto de intersección de las alturas (hc , ha, hb). A B C H

Transversal de gravedad (t): Es el segmento que une el vértice con el punto medio del lado opuesto. tc tc: transversal desde C D: Punto medio del lado AB Centro de gravedad o baricentro(G): Punto de intersección de las transversales. El centro de gravedad (G), divide a cada transversal en razón 2:1.

D, E y F: Puntos medios. AE = ta BF = tb CD = tc G: Centro de gravedad Ejemplo: En la figura, G es centro de gravedad. Si BG = 8 cm, entonces GF = 4 cm.

Simetral (S): Es la perpendicular levantada desde el punto medio de un lado. En la figura, está representada la simetral levantada desde D, punto medio del lado AB. A B C S

Circuncentro: Punto de intersección de las simetrales y corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. D, F y G: Puntos medios. E: Circuncentro

Bisectriz (b): Es el segmento que “dimidia” un ángulo, es decir, lo divide en 2 partes iguales. En la figura, el ACD = DCB = a B C D A bc

Incentro: Punto de intersección de las bisectrices, que corresponde al centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Ejemplo: E: Incentro

Mediana: Es el segmento que une los puntos medios de dos lados consecutivos. La mediana es paralela al lado opuesto y mide la mitad de él. D, E y F: Puntos medios. DF, DE y EF: Medianas DF// AB y DF = AB 2 DE// BC y DE = BC 2 EF// AC y EF = AC 2

Al trazar las tres medianas de un triángulo, se forman 4 triángulos congruentes entre sí. El área de cada uno, es ¼ del área total del triángulo original.

4. Generalidades en un triángulo cualquiera Área o Superficie (A): Corresponde al semiproducto entre la base y la altura del triángulo. A B C a b c Área = Base ∙ Altura 2 ha hb hc a∙ha 2 = 2 b∙hb = 2 c∙ hc A =

Ejemplo: Determinar el área del triángulo de la figura: En este caso, se tiene el valor de la base AB = 8, y la altura que cae sobre su prolongación es CD = 3. Luego su área es: 2 8∙3 A = = 12

Perímetro o longitud (P): Corresponde a la suma de los lados del triángulo. A B C a b c P = a + b + c Ejemplo: P = 15 + 18 + 22 P = 55

5. Clasificación de triángulos Según sus ángulos: -Acutángulo: Ej.: Es aquel que tiene todos sus ángulos interiores agudos. -Rectángulo: Ej.: Es aquel que tiene un ángulo recto. -Obtusángulo: Ej.: Es aquel que tiene un ángulo obtuso.

Según sus lados: -Escaleno: -Isósceles: Es aquel que tiene todos sus lados y ángulos distintos. Ejemplo: -Isósceles: Es aquel que tiene sólo 2 lados congruentes y el lado distinto es la base. Ejemplo: (Base)

(Base) Se dice que el triángulo de la figura, es “isósceles de base AB”, o bien, “isósceles en C”. -Equilátero: Es aquel que tiene todos sus lados congruentes. Nota: En la figura, el triángulo ABC es equilátero: AB = BC = AC. Sus ángulos interiores también son congruentes.

Los contenidos revisados anteriormente los puedes encontrar en tu libro, desde la página 215 a la 220.