Modelamiento y Simulación Definición: “Modelling is the is the process of designing a model of a real system and Simulation is the activity of conducting experiments with this model for the purpose of either understanding the behavior of the system and/or evaluating various strategies for the operation of the system.” - Introduction to Simulation Using SIMAN (2nd Edition)

Modelamiento y Simulación Nos Permite: Modelar complejos sistemas en forma detallada Describir el comportamiento del sistema Construir teorías o hipótesis acerca del comportamiento observado Usar el modelo para predecir el comportamiento futuro, -> efectos que producirán cambios en el sistema estudiado Analizar problemas propuestos

Ventajas de la Simulación: Modelamiento y Simulación Ventajas de la Simulación: La mayor fortaleza de la simulación es poder responder a preguntas del tipo “qué pasaría si…”

Ventajas de la Simulación: Modelamiento y Simulación Ventajas de la Simulación: Puede ser usada para estudiar sistemas existentes sin interrumpir las operaciones en curso Los sistemas propuestos pueden ser testeados entes de comprometer recursos. Permiten identificar cuellos de botellas. Permiten profundizar el conocimiento de cuáles son las variables más importantes para el rendimiento del sistema.

Desventajas de la Simulación Modelamiento y Simulación Desventajas de la Simulación La construcción de modelos es tanto un arte como una ciencia. La calidad del análisis depende de la calidad del modelo como de la habilidad del modelador Los resultados de la simulación son a veces difíciles de interpretar. El análisis de la simulación puede ser a veces muy consumidor de tiempo y caro. No debe ser usado cuando hay métodos analíticos que den resultados más rápidos y más exactos.

Por lo tanto… Entenderemos por "modelamiento y simulación" a las actividades asociadas con la construcción de modelos de sistemas del mundo real, y su simulación en un computador. Los modelos son útiles para predecir y/o estudiar el comportamiento de un sistema real, que puede servir para corroborar algunas hipótesis. Los modelos tienen un rango de validez. Ejs. Newton vs. Einstein

El sistema Real y el modelo El "sistema real" es la parte del mundo real de nuestro interés. El sistema real es una fuente de datos conductuales, registro de cómo se comporta un sistema.  Un modelo es básicamente un conjunto de instrucciones para generar datos conductuales Los modelos son expresados en forma de ecuaciones diferenciales, notación teórica de autómatas o en formalismo de eventos discretos.

¿ Cómo se sabe si un modelo es bueno? Comparar los resultados que arroja con los del sistema real que se quiere estudiar. “Cuan bien el modelo representa al sistema real" Sistema no existe aún (es modelo de algo que se quiere construir) Los resultados que arroje reflejen de alguna manera lo que se quiere estudiar acerca del sistema que se está modelando. No existe ninguna manera de saber cuál es el mejor modelo para un sistema. Es posible comparar dos modelos y decidir cuál de ellos es mejor bajo algún punto de vista particular

Etapas en la descripción del modelo La comunicación o descripción del modelo seguirá por lo general los siguientes pasos: Descripción informal del modelo y los supuestos que se hicieron para su construcción. Esta descripción se hace generalmente en lenguaje natural. Descripción formal de la estructura del modelo, generalmente en forma matemática o con algún lenguaje de descripción no ambiguo. Presentación del programa que realiza la simulación. Presentación de los experimentos y los resultados. Conclusiones sobre el rango de aplicabilidad del modelo y su validez. Relaciones del modelo actual con otros.

Descripción Informal En la descripción informal se describen los componentes del modelo, las variables descriptivas y las interacciones entre los componentes. Componentes: partes del sistema que generan datos de interés. Las variables descriptivas proveen información sobre el estado de los componentes en un momento dado. Dos tipos: variables de estado (que cambian durante la simulación) y parámetros (que se mantienen constantes en una misma simulación, pero que pueden variar de una simulación a otra). Las interacciones entre componentes son las reglas que describen cómo las distintas partes del modelo se afectan entre sí, determinando el comportamiento del modelo a través del tiempo.

¿ Cómo empezar a modelar ? No existen reglas que puedan ser dadas para la elección de los componentes, variables descriptivas o interacciones. Su elección es parte del arte del modelamiento. Lo único que se puede decir es que las componentes y sus variables deben reflejar la parte del sistema real que se quiere estudiar. Se puede empezar por preguntar: ¿cuál es la información que se quiere obtener de la simulación?, y luego ver ¿qué parte del sistema real la origina? para finalmente ver ¿qué otras partes la afectan?

Ejemplo 1 – CPU tiempo compartido El computador sirve a cada usuario por turnos. Cuando un usuario tiene su turno, transmite sus datos al CPU y espera una respuesta. Cuando recibe su respuesta, empieza a preparar los datos para la próxima entrega. El interés del modelo es estudiar qué tan rápido un usuario completa el desarrollo de su programa.

Descripción (1) Componentes CPU, USUARIO1, USUARIO2, ..., USUARIO5. Variables descriptivas Componente CPU tiene variable QUIEN·AHORA - con rango {1,2,3,4,5}; QUIEN·AHORA = i indica que USUARIOi está siendo atendido por el CPU. USUARIOi (i = 1,2,3,4,5) variable ESTADO - con rango [0,1]; ESTADO = s indica que un usuario ha progresado una fracción de tiempo s en completar su programa (cero significa empezando, 1/2 es la mitad, 1 significa que terminó).

Descripción (2) PARÁMETROS ai - con rango [0,1]. Tasa de trabajo que USUARIOi adelanta en cada pasada Interacción entre componentes La CPU sirve a cada usuario por turnos, con una tasa fija. De este modo, QUIEN·AHORA sigue el ciclo 1,2,3,4,5,1,2,... Cuando USUARIOi tiene su turno (es decir, cuando QUIEN·AHORA toma el valor de i), el usuario completa una fracción ai del trabajo que le falta, es decir, si su ESTADO es s, éste se convierte en s + ai(1 - s).  Supuestos El tiempo de servicio dado a un usuario se asume fijo. El progreso del USERi en la terminación de su programa, sigue una tasa exponencial, determinada por su parámetro individual ai.

Ejemplo 2 - Dinámica de las relaciones Gobierno-pueblo En un país hay un gobierno y la gente. El gobierno es dirigido por un PARTIDO en el poder, que puede ser LIBERAL o CONSERVADOR, lo que determina la POLITICA interna, siendo ésta PERMISIVA o COERCITIVA. La gente reacciona a las acciones del gobierno, y en un momento determinado, estará en un estado de CONTIENDA·CIVIL que puede ser ALTO o BAJO. Se quiere analizar diferentes maneras de cómo la gente reacciona a los cambios en las políticas del gobierno, y cómo, en respuesta, el gobierno determina su política en respuesta al comportamiento del pueblo.

Esquema modelo gobierno-pueblo

Descripción (1) GOBIERNO, PUEBLO. Componente GOBIERNO Componentes GOBIERNO, PUEBLO. Variables descriptivas Componente GOBIERNO Variable PARTIDO - con rango {CONSERVADOR, LIBERAL}; indica la tendencia política (ideología) del GOBIERNO. Variable POLITICA - con rango {PERMISIVA, COERCITIVA}; indica el tipo de política que el GOBIERNO está siguiendo. Componente PUEBLO Variable CONTIENDA·CIVIL - con rango {BAJA, ALTA}; indica el estado general de malestar del PUEBLO.

Descripción (2) Interacción entre componentes Una política gubernamental COERCITIVA es invariablemente seguida en el siguiente año por un ALTO grado de CONTIENDA·CIVIL. Por el contrario, un gobierno PERMISIVO siempre es capaz de producir y/o mantener un BAJO nivel de malestar civil durante un año. Un PARTIDO permanece en el poder tanto como la CONTIENDA·CIVIL sea BAJA, siendo reemplazado al término de un año si el malestar se vuelve ALTO. Una vez en el poder, un gobierno CONSERVADOR nunca cambia su POLITICA, ni tampoco cambia la POLITICA de su predecesor cuando recién asume el poder. Un gobierno LIBERAL reacciona a un ALTO grado de CONTIENDA·CIVIL mediante una legislación PERMISIVA, pero un año después de que la quietud ha regresado, invariablemente toma una actitud COERCITIVA.

Ejemplo 3 - Sistema Ciudad El siguiente ejemplo modela la interacción entre la industria, la población y la contaminación de una ciudad.

Descripcion (1) POBLACION, CONTAMINACION, INDUSTRIA. Componentes POBLACION, CONTAMINACION, INDUSTRIA. Variables descriptivas Componente POBLACION Variable DENSIDAD·POBLACION - con rango en los números reales positivos; DENSIDAD·POBLACION = x indica que actualmente hay x personas por metro cuadrado habitando la ciudad o país. Componente CONTAMINACION Variable NIVEL·CONTAMINACION - con rango en los números reales positivos; NIVEL·CONTAMINACION = y indica que el actual nivel de contaminación del ambiente es y unidades de alguna escala no especificada. Componente INDUSTRIA Variable CAPITAL·INDUSTRIAL - con rango en los números reales positivos; CAPITAL·INDUSTRIAL = z indica que el mundo industrial total está actualmente valorado en z dólares.

Descripción (2) Interacción entre componentes La tasa de crecimiento de DENSIDAD·POBLACION se incrementa linealmente con el incremento en DENSIDAD·POBLACION y CAPITAL·INDUSTRIAL. Ésta decrece linealmente con el incremento en NIVEL·CONTAMINACION. La tasa de crecimiento del NIVEL·CONTAMINACION se incrementa linealmente con el incremento en DENSIDAD·POBLACION y CAPITAL·INDUSTRIAL. La tasa de crecimiento de CAPITAL·INDUSTRIAL se incrementa linealmente con el incremento del CAPITAL·INDUSTRIAL y se decrementa linealmente con el incremento del NIVEL·CONTAMINACION.

Ejemplo 4 - Transporte de pasajeros Este ejemplo modela el transporte en bus de pasajeros entre dos estaciones. Los pasajeros pueden abordar el bus en cualquier estación y permanecer en el bus tantas paradas como deseen, ya que en el modelo real, actualmente no se tiene control sobre el tiquete de los pasajeros una vez que ellos entran en el bus. La compañía de buses está interesada en invertir en personal o equipo para resolver este problema, y debido a esto ha iniciado la construcción del modelo.

Descripción (1) Componentes PUERTA·ENTRADA·1, PUERTA·ENTRADA·2, ESTACION·1, ESTACION·2, BUS.   Variables descriptivas Componente PUERTA·ENTRADA·i (i = 1, 2) Variable #·LLEGANDO·i - con rango en los enteros positivos; #·LLEGANDO·i= Xi indica que Xi personas están entrando a la estación en este momento. Componente ESTACION·i (i = 1, 2) Variable #·ESPERANDO·i - con rango en los enteros positivos; #·ESPERANDO·i = Qi indica que Qi personas están actualmente esperando en ESTACION·i por el BUS.

Descripción (2) Componente BUS Parametros Variable #·EN·BUS - con rango en los enteros positivos; #·EN·BUS = Qb indica que hay Qb pasajeros actualmente en el BUS. Variable TIEMPO·DE·VIAJE - variable aleatoria con rango en los reales positivos. TIEMPO·DE·VIAJE = s significa que el BUS toma s unidades de tiempo para ir de la estación actual a la siguiente. Variable PASAJEROS·QUE·BAJAN - variable aleatoria con rango en los enteros positivos; PASAJEROS·QUE·BAJAN = n significa que n pasajeros dejarán el BUS en la estación. Parametros CAPACIDAD - con rango en los enteros positivos; especifica el máximo número de pasajeros que el BUS puede transportar. Pi (i = 1, 2) - probabilidad de que un pasajero abandone el BUS en la ESTACION·i. MEDIA (SIGMA) - con rango en los reales positivos; promedio y desviación estándar de TIEMPO·DE·VIAJE entre estaciones. K.on (K.off) - con rango en los reales positivos; El tiempo que le toma a cada pasajero entrar (bajar) del BUS.

Descripción (3) Interacción entre componentes El BUS viaja de ESTACION·i a ESTACION·j. El tiempo de llegada a la ESTACION·j es determinado por muestras de TIEMPO·DE·VIAJE (normalmente distribuido, con parámetros MEDIA y SIGMA). Al llegar a la ESTACION·j el BUS: (a) Deja a los pasajeros que desean bajarse (este número es una muestra de PASAJEROS·QUE·BAJAN) (b) Recoge pasajeros en la ESTACION·j hasta que la ESTACION·j esté vacía (#·ESPERANDO·j = 0) o el BUS esté lleno (#·EN·BUS = CAPACIDAD).

Categorías de modelos Clasificación según el tiempo de ocurrencia de los eventos continuo si el tiempo es especificado como un flujo continuo. discreto el tiempo transcurre a saltos. Los ejemplos Clasificación según rango de las variables descriptivas del modelo. estado discreto si las variables sólo pueden contener un conjunto discreto de valores. estado continuo si el conjunto de valores puede ser representado por un número real o intervalos de ellos. mixto si el modelo contiene variables de rango continuo y discreto,

Clasificación (2) Los modelos de tiempo continuo pueden ser divididos a su vez en Modelos de ecuaciones diferenciales son modelo de tiempo continuo y estados continuos, en el cual los cambios de estado son continuos, por lo que las derivadas con respecto al tiempo son controladas por ecuaciones diferenciales. Modelos de eventos discretos, aunque en el sistema real el tiempo transcurra de forma continua, los cambios de estado ocurren como saltos discontinuos. Los saltos son gatillados por eventos y éstos ocurren en forma arbitraria, separados unos de otros, por lo que un número finito de eventos puede ocurrir en un lapso de tiempo finito.

Clasificación (3) Clasificación según si incorporan variables de tipo aleatorio en la descripción del modelo. En un modelo determinísticos no aparecen estas variables, En un modelo estocástico o probabilístico hay al menos una variable cuyo valor se calcula de forma aleatoria. Clasificación según la manera en que el sistema real interactúa con su entorno. Si el sistema real está aislado del entorno, entonces se dice que es autónomo. Si recibe influencias del entorno, se dice que es no autónomo o dependiente del medio. En este caso el modelo tiene variables de entrada (INPUT) las cuales no son controladas por el modelo, pero tiene que responder a ellas.

Especificación formal de modelos La especificación formal debe dar instrucciones claras para la ejecución del modelo (simulación) Un concepto fundamental el de “estado del modelo” Un estado de un modelo es descrito por el valor que tienen en cierto momento las variables de estado

Variables de Estado Los componentes de un modelo son descritos por un conjunto de variables descriptivas. Las reglas que especifican la interacción entre componentes, determinan la manera en la cual estas variables descriptivas cambian con el tiempo. Para que una computadora sea capaz de simular el modelo, debe "conocer" estas reglas de interacción. En muchos modelos es posible designar un pequeño subconjunto de todas las variables descriptivas de tal forma que es suficiente conocer el valor actual de este subconjunto de variables para calcular los valores futuros de todas las variables descriptivas. A este subconjunto de variables las llamaremos "variables de estado".

Descripción formal de Variables de Estado Considere un modelo con las variables descriptivas a1, a2, a3, ..., an. Decimos que los valores de estas variables son y1, y2, y3, ..., yn en un instante de tiempo t, si a1 toma el valor y1, a2 toma el valor y2, ..., an toma el valor yn en el instante t. Se considera un modelo "bien definido" si las reglas de interacción entre componentes determinan, para cada instante futuro t' (t' > t), un único conjunto de valores y'1, y'2, y'3, ..., y'n dados los valores y1, y2, y3, ..., yn en el instante t. De este modo, dados los valores y1, y2, ..., yn en un tiempo t, el computador puede calcular los valores y'1, y'2, ..., y'n para cualquier tiempo t' (con t' > t).

Ejemplo : Un supermercado simplificado Los clientes que entran a un supermercado tienen nombres sacados del conjunto {a, b, ..., z}. Un cliente que entra, pasa al AREA·COMPRAS, donde selecciona sus adquisiciones. Cuando termina se va a la caja, donde espera en COLA. Después de pagar al cajero, el cliente se va por la SALIDA. Observemos que una cola en la caja puede representarse como x1, x2, ..., xn, con xi Î {a, b, c, ..., z}. Es decir, una cola específica es un elemento de {a, b, c, ..., z}*.

Descripción ENTRADA, AREA-COMPRAS, CAJA, SALIDA ENTRADA AREA-COMPRAS COMPONENTES: ENTRADA, AREA-COMPRAS, CAJA, SALIDA VARIABLES DESCRIPTIVAS: ENTRADA HOLA - con rango {0,a,b,c,..., z}; HOLA = 0 significa que no hay clientes en la entrada. HOLA = x significa que el cliente x está en la ENTRADA. AREA-COMPRAS T-COMPRAS - con rango en los reales positivos; una variable aleatoria que indica el tiempo que demora un cliente en hacer sus adquisiciones en el AREA-COMPRAS LISTA-CLIENTES - con rango ({a,b,...,z} x R+)*. (x1, t1), (x2, t2), ..., (xn, tn) significa que el cliente xi saldrá del AREA·COMPRAS en ti unidades de tiempo a partir de ahora.

Variables Descriptivas CAJA COLA - con rango {a, b, c, ..., z}*. COLA = x1, x2, ..., xn indica que x1 está primero en la cola, x2 es segundo, etc. T·SERVICIO - con rango R+. Variable aleatoria que da el tiempo en el que será procesado el cliente que está primero en la cola. SERVICIO·RESTANTE - con rango R+. SERVICIO·RESTANTE = s significa que el cliente que está siendo atendido, dejará la CAJA en s unidades de tiempo a partir de ahora. OCUPADO - con rango {SI, NO}; indica si la CAJA está atendiendo o no un cliente. SALIDA CHAO - con rango {0, a, b, c, ..., z}; CHAO = 0 indica que no hay clientes en la salida. CHAO = x significa que el cliente x está saliendo.

INTERACCION ENTRE COMPONENTES Cuando un cliente x llega a la ENTRADA en t, su presencia es indicada por HOLA = x. Entra al área de compras (HOLA se pone en 0) y después de muestrear T·COMPRAS, obtiene un tiempo de adquisiciones t. Por tanto, (x, t) es puesto en la lista LISTA·CLIENTES. A medida que el reloj avanza, (x, t) se decrementa hasta (x, 0). En ese instante, el cliente x deja el AREA·COMPRAS, y se pone al final de la COLA en la caja. A medida que los clientes son procesados, avanzan hacia el frente de la COLA. Cuando es el primero, se muestrea T·SERVICIO para obtener un tiempo s y se asigna s a SERVICIO·RESTANTE. El cliente x espera en la cabeza de la COLA hasta que SERVICIO·RESTANTE se hace 0. En ese momento se va de la CAJA (y del supermercado). Su paso por la SALIDA (que toma tiempo 0) se señala por CHAO = x.

Esquema de un cliente

Esquema en un instante t Ejemplo: En un instante dado t, la situación puede ser la siguiente

Esquema en un instante t+8 En el instante t + 8 la situación podría ser la siguiente (por ejemplo):

Instantes de Ocurrencia El ejemplo anterior clarifica las ideas de simulación de eventos discretos. En lugar de avanzar el tiempo del modelo como t, t+1, t+2, ..., si en un momento determinado el tiempo del modelo es t, podemos avanzar el tiempo al próximo instante de ocurrencia. Supongamos, para empezar, que no hay llegada de clientes (un modelo autónomo). Esto puede ocurrir cuando el supermercado ha cerrado la ENTRADA. Entonces, sea t el instante actual, t' el próximo instante de ocurrencia. t' = t + min {t1, t2, ..., tn, s} Es decir, t' será el instante actual más el mínimo de los tiempos que quedan para que se produzca un evento. Los t1, t2, ..., tn y s son relojes decrecientes (timers): cuando su valor se hace 0, ocurre un evento.

Ejercicio en Clases Grupos de trabajo tradicionales Trabajar hasta el break Hacer la especificación informal del modelo: Componentes Variables Parámetros Especificación informal de las interacciones

Temas – 1 Puerto Se quiere simular un puerto para saber cuantos espigones construir Los barcos llegan a puerto y si hay un espigón libre se colocan ahí y comienzan a ser atendido Si no, anclan en un área de espera hasta que se desocupe uno

Temas – 2 Sistema Ecológico En un parque nacional hay zorros, conejos y zanahorias Los zorros se comen a los conejos a razón de x conejos por día por zorro, por lo que si faltan conejos disminuye la población de zorros Los conejos comen zanahorias a razón de y zanahorias por día por conejo, por lo que si faltan disminuye la población de conejos Las zanahorias se reproducen a razón de un z% por cada día Se requiere simular para ver si es necesario “controlar” la población de zorros o conejos del parque

Tema 3- Marcos de aluminio Una empresa subsidiaria fabrica lingotes de aluminio Los lingotes se compran y se almacenan, un pedido toma 2 semanas en llegar Del almacenamiento pasan a la línea de producción del tipo de marco que se necesite (dependiendo de la demanda en el mercado) la producción toma 1 semana Luego se vende, pero con “compromiso” de palabra del cliente de reciclar (devolver a la fabrica) los productos cuando sean descartados. Los productos tienen una vida media de 5 años. Se sabe que solo una fracción de ellos son reciclados Se quiere simular la situación para ver cómo programar las compras de lingotes dependiendo de la demanda y la porción de productos descartados que realmente se recicle

Tema 4- Alumnos en la facultad Los alumnos entran a primer año a razón de x por año Del primer año, el a1% de los alumnos pasa a segundo, el b1% abandona y el c1% se queda repitiendo Del i-esimo año, el ai% de los alumnos pasa a segundo, el bi% abandona y el ci% se queda repitiendo, la carrera dura 5 años Se quiere saber cuantos alumnos hay por año para planificar las salas que se necesitan

Simulación de Sistemas dinámicos Evolucionan a través del tiempo Las variables de estado en un instante de tiempo t van a influenciar los valores en el instante t+Δt Muchos sistemas de la naturaleza se pueden modelar con sistemas dinámicos Ej. El sistema de una ciudad: ¿ otros ?

Elementos de Modelado de sistemas dinámicos: stocks y flujos Stocks y flujos son los elementos básicos para el modelado de sistemas dinámicos Los stocks pueden ser cuantificados o infinitos En los flujos representamos cuánto de un stock va a otro Stocks finitos se representan como cuadrados, los infinitos por rombos Las flechas conectoras gruesas representan la dirección del flujo de magnitudes. Las flechas delgadas representan flujo de información. Ejemplo: modelado de un stock de dinero que crece al aplicarle interés Elemento de flujo (regula el flujo) Stock infinito (dinero del banco) Stock cuantificado (nos interesa este número)

También el aumento de población se puede modelar en forma parecida Cuando esto sucede se dice que los modelos tienen la misma estructura y tiene el mismo patrón de comportamiento cuando son simulados a través del tiempo. Aunque en este caso también debería incluirse los fallecimientos

Refinamiento del Modelo Podemos incluir distintos grupos etarios ¿Hay error de modelamiento aquí ?

¿ Cómo comenzamos a modelar ? Por los stocks: son las variables claves del modelo Representan lugares donde hay acumulación o almacenamiento Otra manera de pensar en ellos: ¿qué variables del modelo conservan sus valores si los flujos se vuelven cero ?

Sumar stocks y verificar unidades Es importante que seamos coherentes con las variables del modelo Especialmente importante es la variable tiempo de un paso en la simulación Esta debe mantenerse a lo largo del modelo

La Tasas Representan la tasa a la que fluye un flujo Muchas veces son los parámetros del modelo Estos se modifican de una simulación a otra para ver “Qué pasa si…” Permiten una mejor “visión” del modelo

Un estanque que se vacía El nivel depende de la velocidad de vaciamiento Nivel(t+1) = nivel(t) – velocidad(t) La velocidad depende del nivel Velocidad(t) = nivel(t)*k

Un cuerpo sometido a roce dinámico La posicion depende de la velocidad X(t+1) = x(t) + vel(t) La velocidad se reduce en un cierto porcentaje k dependiendo de la velocidad que lleva en ese momento V(t+1) = v(t)*k

Agreguemos mayor detalle a la fabricación Productos descartados = Productos en Uso */Vida media de los productos (% de productos descartados en el lapso de tiempo) Producción = Lingotes en fabrica/Tiempo de fabricación Transporte = Lingotes en inventario/Tiempo en inventario

El Reciclado Los productos descartados son el potencial reciclado De estos, una fracción (0.25) se recicla el resto se descarta definitivamente

Modelamiento y Simulación Población Averiguar tasas de natalidad y mortalidad de Chile y ver cuantos años para llegar a los 20 millones a las actuales tasas (distribuir tasa de mortalidad entre los diferentes grupos)