MÉTODOS CUANTITATIVOS Y SIMULACIÓN LÍNEAS DE ESPERA Dr. Salvador García L.

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1 MÉTODOS CUANTITATIVOS Y SIMULACIÓN LÍNEAS DE ESPERA Dr. Salvador García L.

2 2 LÍNEAS DE ESPERA La formación de líneas de espera es un fenómeno común que ocurre siempre que la demanda por un servicio excede la capacidad para proveer ese servicio. Proveer demasiado servicio involucra costos excesivos. No proveer suficiente servicio causa largas líneas de espera.

3 Dr. Salvador García L. 3 LÍNEAS DE ESPERA El tiempo de espera excesivo es costoso. El objetivo primordial es lograr un balance económico entre el costo de servicio, y el costo asociado con la espera de ese servicio.

4 Dr. Salvador García L. 4 LÍNEAS DE ESPERA Los modelos de líneas de espera no resuelven directamente el problema; sin embargo, proporcionan información vital para la toma de decisiones, al predecir varias características de la línea de espera.

5 Dr. Salvador García L. 5 BÁSICA ESTRUCTURA BÁSICA

6 Dr. Salvador García L. 6 BÁSICA ESTRUCTURA BÁSICA

7 Dr. Salvador García L. 7 ESTRUCTURA BÁSICA

8 Dr. Salvador García L. 8 BÁSICA ESTRUCTURA BÁSICA

9 Dr. Salvador García L. 9 MEDIDAS DE DESEMPEÑO DEL SISTEMA UTILIZACIÓN DEL SERVIDOR  (% DE TIEMPO QUE ESTÁ OCUPADO) LONGITUD DE LINEA DE ESPERA Lq TIEMPO PROMEDIO DE ESPERA Wq

10 Dr. Salvador García L. 10 PARÁMETROS DE ENTRADA RAZÓN DE LLEGADA DE CLIENTES RAZÓN DE SERVICIO  NÚMERO YARREGLO DE LOS SERVIDORES

11 Dr. Salvador García L. 11 EJEMPLOS DE SISTEMAS SISTEMACLIENTESSERVIDOR TallerCamionesMecánico HospitalPacientesEnfermeras AeropuertoAvionesPista ComputadoraProgramasCPU

12 Dr. Salvador García L. 12 SÍMBOLOS UTILIZADOS TIEMPOS INTERR- ARRIBOS MDEkG TIEMPO SERVICIO MDEkG NÚMERO SERVIDORES 1,2,...1,2,..1,2,... CAPACIDAD SISTEMA 1,2,... COMPORTAM IENTO ABANDO- NAR (BALKING) RENEGARJOCKEY DISCIPLINA FILA FIFOLIFOSIROPRI

13 Dr. Salvador García L. 13 NOTACIÓN KENDALL (arrival process/service process/num. servers/system capacity/population size) EJEMPLOS  (M/M/1/  /  ) = (M/M/1)  (M/D/3/5/5)  (G/M/1)  (G/G/3)

14 Dr. Salvador García L. 14 SISTEMA (M/M/1) Proceso de arribo aleatorio con una distribución Poisson con razón de llegada clientes/unidad de tiempo. Un sólo servidor con razón de servicio  y tiempo de servicio aleatorio con una distribución Exponencial con media de 1/ .

15 Dr. Salvador García L. 15 SISTEMA (M/M/1) Si un cliente llega y el servidor no está ocupado, entonces es atendido inmediatamente. En caso contrario, el cliente pasa a formar una fila de capacidad infinita. El flujo de clientes a través del sistema (fila+servidor) es un proceso estocástico: {N t : t  0}, N t =Num. de clientes al tiempo t

16 Dr. Salvador García L. 16 SISTEMA (M/M/1) Probabilidad de tener n clientes en el sistema en el estado estable (t  ): N = num. de clientes en sistema en estado estable. N es una variable aleatoria con una función de masa de probabilidad

17 Dr. Salvador García L. 17 SISTEMA (M/M/1) El objetivo es derivar una expresión para Esta derivación se realiza en dos etapas:  Obtener un sistema de ecuaciones definiendo las probabilidades  Resolver el sistema

18 Dr. Salvador García L. 18 SISTEMA (M/M/1) DIAGRAMA DE ESTADO CONDICIÓN DE BALANCE: RAZÓN DE LLEGADA =RAZÓN DE SALIDA 0123  

19 Dr. Salvador García L. 19 SISTEMA (M/M/1) Nodo 0: Nodo 1: En general:

20 Dr. Salvador García L. 20 SISTEMA (M/M/1) Intensidad de Tráfico: Expresión para P o :

21 Dr. Salvador García L. 21 SISTEMA (M/M/1) EJEMPLO Un operador de un pequeño elevador de grano tiene una sola plataforma de descarga. Los arribos de camiones durante la temporada forman un proceso de Poisson con tasa media de llegadas de 4/hr. Debido a la diferencia de carga de los camiones, el tiempo que cada camión pasa en la plataforma es aproximado por una variable aleatoria Exponencial con media de 14 min. Asumiendo que los sitios de estacionamiento son ilimitados, el sistema M/M/1 describe la línea de espera que se forma.

22 Dr. Salvador García L. 22 SISTEMA (M/M/1) EJEMPLO Parámetros:

23 Dr. Salvador García L. 23 SISTEMA (M/M/1) EJEMPLO Probabilidad de que la plataforma esté vacía: Porcentaje de tiempo que la plataforma está ocupada: Probabilidad de 3 camiones esperando:

24 Dr. Salvador García L. 24 SISTEMA (M/M/1) MEDIDAS DE EFECTIVIDAD Número promedio de clientes en sistema:

25 Dr. Salvador García L. 25 SISTEMA (M/M/1) MEDIDAS DE EFECTIVIDAD Número promedio de clientes en fila:

26 Dr. Salvador García L. 26 SISTEMA (M/M/1) MEDIDAS DE EFECTIVIDAD Varianza del Número de clientes en sistema: Varianza del Número de clientes en fila:

27 Dr. Salvador García L. 27 SISTEMA (M/M/1) MEDIDAS DE EFECTIVIDAD Tiempo Promedio en el sistema: Tiempo Promedio en Fila:

28 Dr. Salvador García L. 28 SISTEMA (M/M/1) EJEMPLO Para el problema del elevador de grano:  Número Promedio de camiones en el sistema:  Número Promedio en Fila:

29 Dr. Salvador García L. 29 SISTEMA (M/M/1) EJEMPLO  Tiempo promedio en el sistema:  Tiempo Promedio en Fila:

30 Dr. Salvador García L. 30 SISTEMA (M/M/c) LÍNEA DE ESPERA MULTICANAL Sistema con c servidores idénticos, cada uno con razón de servicio 

31 Dr. Salvador García L. 31 SISTEMA (M/M/c) EJEMPLO Una máquina copiadora es operada en una oficina. Los trabajos requeridos varían en calidad y extensión y son modelados por un proceso Poisson con razón media de servicio de 10/hr. Los requerimientos de servicio mantienen una razón promedio de llegadas de 5/hr. Ocasionalmente se forma una línea de espera, lo que ha cuestionado el uso de 2 copiadoras. Los datos son los siguientes:

32 Dr. Salvador García L. 32 SISTEMA (M/M/c) EJEMPLO Si el tiempo de una secretaria es valorado en $3.50/hr, convendría tener 2 copiadoras como la actual o una sola copiadora grande? Tipo de copiadoraRazón de servicioCosto/día Std (actual)105 Más grande1510

33 Dr. Salvador García L. 33 SISTEMA (M/M/c) EJEMPLO Costo/día = Renta + Costo tiempo perdido. 1 copiadora actual: 1 copiadora grande:

34 Dr. Salvador García L. 34 SISTEMA (M/M/c) EJEMPLO 2 copiadoras como la actual:

35 Dr. Salvador García L. 35 SISTEMA (M/M/c) EJEMPLO Costo/día de 2 copiadoras como la actual: 1 copiadora grande es ligeramente una mejor opción.

36 Dr. Salvador García L. 36 SISTEMA (M/M/1/N) CAPACIDAD FINITA Sistema con 1 servidor y capacidad finita.

37 Dr. Salvador García L. 37 SISTEMA (M/M/1/N) CAPACIDAD FINITA La intensidad de tráfico puede ser igual a 1 sin que la fila llegue a infinito, ya que la capacidad es sólo N.

38 Dr. Salvador García L. 38 SISTEMA (M/M/1/N) CAPACIDAD FINITA Una sala de belleza es atendida por una sola persona y tiene un total de 10 asientos. Los tiempos entre llegadas están exponencialmente distribuidos y un promedio de 20 clientes potenciales por hora arriban a la sala. Aquellos clientes que encuentran la sala llena, no entran. La persona que atiende la sala tarda en promedio 12 min para cortar el pelo del cliente. Los tiempos están exponencialmente distribuidos.

39 Dr. Salvador García L. 39 SISTEMA (M/M/1/N) CAPACIDAD FINITA En promedio, cuántos cortes de pelo se completan en una hora?

40 Dr. Salvador García L. 40 SISTEMA (M/M/1/N) CAPACIDAD FINITA En promedio, cuánto tiempo pasa en la sala de belleza un cliente que entra?

41 Dr. Salvador García L. 41 SISTEMA (M/G/1) Considere un sistema con llegadas de acuerdo a una distribución de Poisson con parámetro. El tiempo de servicio puede tener cualquier distribución de probabilidad con media y varianza conocidas.

42 Dr. Salvador García L. 42 SISTEMA (M/G/1) EJEMPLO Máquinas de un proceso de manufactura se descomponen aleatoriamente requiriendo servicio mecánico. Se asume que las fallas ocurren de acuerdo a una distribución Poisson con razón de 1.5/hr. Observaciones a lo largo de varios meses muestran que los tiempos de reparación por parte de un mecánico, tienen una media de 30 min con una desviación std de 20 min.

43 Dr. Salvador García L. 43 SISTEMA (M/G/1) EJEMPLO Calcular el número promedio de máquinas en reparación.