1. Números racionales: paso de fracción a decimal Todo número fraccionario puede expresarse en forma decimal sin más que efectuar la división entre el numerador y el denominador. Pueden entonces ocurrir los siguientes casos: La expresión decimal es exacta: La expresión decimal es periódica pura: La expresión decimal es periódica mixta: Cuidado: algunas calculadoras redondean 5 3

Decimal periódico puro 2,166... Decimal periódico mixto 3 4 = 0.75 EJEMPLOS Pasar a decimal 3/4 Pasar a decimal 14/11 Pasar a decimal 13/6 3, 0 4 20 0,75 0,75 Decimal exacto 1,2727... Decimal periódico puro 2,166... Decimal periódico mixto 3 4 = 0.75

Partes de un número decimal periódico mixto Todo número decimal periódico (por ejemplo 2,478787878… = 2,478) tiene tres partes: Parte entera Anteperíodo x = 2‚ 4 78 78 78 78 ……. Período: primer bloque. Período: cuarto bloque. Notación: reducimos la escritura. x = 2,47878.... = 2,478 Observa que los números decimales exactos y los números enteros se pueden considerar periódicos sin más que agregar ceros a la derecha. 0,75 = 0,75000000... 3 = 3,000000... Todo número racional se puede expresar siempre en forma decimal periódica.

2. Números racionales: paso de decimal a fracción Decimal exacto El decimal periódico 1,25000… = 1,25 es también un decimal exacto. Para pasarlo a fracción multiplicamos por 100 la igualdad x = 1,25, es decir, 100x = 125, x = = 5 4 125 100 Decimal periódico puro ¿Cuál es la forma fraccionaria de x = 1,333… [1]? 1.° Se multiplica en [1] por 10: 10x = 13,333… 2.° Se escribe el valor de x: x = 1,333… 3.° Se restan las dos igualdades: 10x – x = 13,333… – 1,333… 9x = 13 – 1 x = = = 12 9 13 – 1 4 3 4.° Se despeja x:

x = = = 29 22 1.318 – 13 990 1.305 Decimal periódico mixto ¿Cuál es la forma fraccionaria de x = 1,31818… [2]? 1.° Se multiplica en [2] por 1.000: 1.000x = 1.318,1818… [3] 2.° Se multiplica en [2] por 10 para obtener otro número con la misma parte decimal: 10x = 13,1818… [4] 3.° Se restan las dos igualdades [3] – [4]: 1.000x – 10x = 1.318,1818… – 13,1818… 990x = 1.318 – 13 x = = = 29 22 1.318 – 13 990 1.305 de donde Todo número decimal periódico se puede expresar siempre en forma fraccionaria.

Ejemplos 3. Números irracionales Las expresiones decimales no periódicas se llaman números irracionales. Los números irracionales no se pueden escribir en forma de fracción. El conjunto de los números racionales e irracionales se llaman números reales. El conjunto de los números reales se designa por la letra R Ejemplos El número p con 1000 cifras decimales 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664821339360726024914127372458700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133053054882046652138414695194151160943305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912983367336244065664308602139494639522473719070217986094370277053921717629317675238467481846766940513200056812714526356082778577134275778960917363717872146844090122495343014654958537105079227968925892354201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859502445945534690830264252230825334468503526193118817101000313783875288658753320838142061717766914730359825349042875546873115956286388235378759375195778185778053217122680661300192787661119590921642 ... Un número decimal cuya ley de formación es no periódica. 2,020020002000020000020000002000000020000000020000000002…...

LA RAÍZ CUADRADA DE 2 La raíz cuadrada de 3, 5, 7, 11, ….. , también son números irracionales.

EL NÚMERO 

EL NÚMERO ÁUREO,  Rectángulo cuyos lados están en proporción áurea. Con su conocido dibujo del hombre de Vitrubio, Leonardo da Vinci ilustró el libro "La Divina Proporción" del matemático Luca Pacioli, editado en 1509. El Partenón, mostrando los rectángulos áureos usados posiblemente en su construcción. Espiral de oro con un rectángulo áureo

EL NÚMERO e número de Euler e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 7135.... Algunas fórmulas en las que aparece el número e C = c · er·t En matemática financiera se utiliza para calcular el interés continuo ¿Habíais imaginado alguna vez que vuestros ahorros y vuestras hipotecas estaban bajo el control del número e?

Sucesivas ampliaciones de los números -1 R 1 2 1/2 -2 2 Q 1 2 -1 -2 1/2 1 2 Z -1 -2 N 1 2

4. Representación de los números reales Para representar un número racional, por ejemplo, 8/5 = 1,6, se representa primero la parte entera (1) y después la decimal (6). Para representar un número irracional, por ejemplo, 2 = 1,414213... Podemos seguir dos métodos: representación exacta y representación de una aproximación. Representación de una aproximación. Representemos una aproximación de 2 = 1,414213..., por ejemplo 1,4.

Representación exacta. En la figura, por el teorema de Pitágoras: Fijados un origen y una unidad de medida sobre la recta, dar un número real equivale a señalar un punto en la recta

Intervalos Un intervalo es un conjunto de números que se corresponden con los puntos de un segmento de la recta real. Según incluyan o no los extremos del segmento, los intervalos pueden ser cerrados, abiertos y otros que están abiertos por un extremo y cerrado por el otro

Intervalo abierto: (a, b) Intervalos abiertos y cerrados Intervalo abierto: (a, b) a b Los extremos no pertenecen al conjunto Intervalo cerrado: [a, b] a b Los extremos sí pertenecen al conjunto

Intervalo abierto por la derecha: [a, b) Intervalos semiabiertos (o semicerrados) Intervalo abierto por la derecha: [a, b) a b El extremo izquierdo pertenece al conjunto; el derecho no. Intervalo abierto por la izquierda: (a, b] a b El extremo izquierdo no pertenece al conjunto: el derecho sí.

El extremo izquierdo pertenece al conjunto. Semirrectas ilimitadas hacia la derecha [a, +) a El extremo izquierdo pertenece al conjunto. (a, +) a El extremo izquierdo no pertenece al conjunto.

El extremo derecho no pertenece al conjunto. Semirrectas ilimitadas hacia la izquierda (– , b) b El extremo derecho no pertenece al conjunto. (– , b] b El extremo derecho sí pertenece al conjunto.

EJEMPLOS Intervalo cerrado [0,2] El intervalo cerrado [0, 2] contiene todos los puntos comprendidos entre 0 y 2, incluidos los extremos 0 y 2. Intervalo abierto (0,2) El intervalo abierto (0, 2) contiene todos los puntos comprendidos entre 0 y 2, excluidos los extremos 0 y 2. Intervalo abierto a la derecha y cerrado a la izquierda [0,2) El intervalo abierto a la derecha y cerrado a la izquierda [0, 2) contiene todos los puntos comprendidos entre 0 y 2, incluido el 0 y excluido el 2. Intervalo abierto a la izquierda y cerrado a la derecha (0,2] El intervalo abierto a la izquierda y cerrado a la derecha (0, 2] contiene todos los puntos comprendidos entre 0 y 2, incluido el 2 y excluido el 0.

5. Aproximaciones decimales de números irracionales Las décimas, centésimas, milésimas, ... se obtienen mediante divisiones de la unidad en 10, 100, 1000, ... partes iguales. Una aproximación de un número decimal es otro número decimal que se obtiene suprimiendo los decimales a partir de un orden dado. Formas de aproximar: Truncamiento. Se suprimen las cifras a partir del orden elegido. Redondeo. Se suprimen las cifras a partir del orden elegido Si la primera cifra suprimida es menor que 5, dejamos igual la última cifra. Si la primera cifra es mayor o igual a 5, aumentamos en una unidad la última cifra que se conserva.

Para trabajar con números irracionales es necesario hacerlo con aproximaciones, lo que genera errores. El error absoluto es la diferencia positiva entre el verdadero valor y la aproximación. El error relativo es el error por unidad, es decir el cociente entre el error absoluto y el número. El error puede ser por defecto o por exceso según sea mayor o menor que el número al que representa. Si aproximamos p por 3,14 el error absoluto es: 3,14 – 3,14159265... = – 0,019265...  E = 0,019265 El error relativo será: Se dice que al tomar p por 3,14 cometemos un error relativo menor que 0,006

• • • Aproximación entera: Aproximación decimal: Sucesivas aproximaciones para representar el número está entre 1 y 2 Aproximación entera: • -1 1 2 3 4 5 6 • 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 está entre 1,4 y 1,5 Aproximación decimal: • 1,4 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,5 está entre 1,41 y 1,42 Aproximación centesimal: Y así sucesivamente…

Error cometido en cada aproximación de Todo número irracional se puede expresar mediante una secuencia de números decimales que son aproximaciones por defecto y por exceso de su valor exacto.

Ordenación de números reales Para comparar números reales se pasan previamente a forma decimal. Luego se comparan los números decimales. ¿Cuál es menor? Se deduce que o que Una interpretación

Valor absoluto de un número real Se define el valor absoluto de un número real x de la siguiente forma: Significado geométrico del valor absoluto de la diferencia de dos números B b A a O Longitud del segmento AB =distancia entre los puntos A y B = |b – a| = |a – b|

Operaciones con números reales: suma Es imposible sumar exactamente dos números irracionales ya que tienen infinitas cifras decimales. Se opera con ellos sustituyéndolos por números aproximados con un número finito de cifras.

Operaciones con números reales: producto Es imposible multiplicar exactamente dos números irracionales ya que tienen infnitas cifras decimales. Se opera con ellos sustituyéndolos por números aproximados con un número finito de cifras.

La longitud de una circunferencia de diámetro 8 cm es: 8p cm. Operaciones indicadas con números irracionales Las operaciones con números irracionales se suelen dejar indicadas, y si se necesita se escribe su valor con los decimales adecuados al problema. Las operaciones con números reales verifican las mismas propiedades que las de los números racionales La longitud de una circunferencia de diámetro 8 cm es: 8p cm. La suma de se deja indicada: Siempre que se pueda se debe simplificar la expresión obtenida: