Unidad 6. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método de Gauss-Jordan.

Eliminación gaussiana. Es una extensión del método de eliminación algebraico simple extendido para aplicar a un sistema de ecuaciones grande. Es un algoritmo que va eliminando incógnitas sistemáticamente y luego realiza una sustitución en sentido inverso. Consiste en en dos fases: Eliminación progresiva hacia adelante de las incógnitas. Sustitución hacia atrás.

Esquema del proceso de eliminación gaussiana primitivo.

Dificultades del método de eliminación gaussiano primitivo. (1) División por cero. Es posible que tanto durante la fase de eliminación como en la fase de sustitución inversa se pueda presentar una división por cero o por un número muy pequeño. Errores por redondeo. Sistemas mal condicionados. Son sistemas en los que un cambio “pequeño” en los coeficientes da lugar a grandes cambios en la solución. Puede presentarse cuando 2 o más ecuaciones son prácticamente idénticas, dando como resultado una gran variedad de de respuestas que satisfacen aproximadamente la ecuación. Puesto que los errores por redondeo pueden inducir pequeños cambios en los coeficientes, estos cambios pueden provocar grandes errores en la solución.

Dificultades del método de eliminación gaussiano primitivo. (2) Sistemas singulares. Esta situación es un poco diferente a las anteriores. Sucede, por ejemplo, cuando 2 ecuaciones del sistema son idénticas o una es múltiplo de otra, o, más general, cuando una ecuación puede expresarse como una combinación lineal de las restantes. En esos casos, ¡hasta puede haber infintas soluciones! La singularidad de un sistema puede detectarse calculando el determinante y observando que es 0 (o muy cercano a él). Otra vía sería detectar la aparición de un término diagonal nulo (o muy cercano a 0) durante la fase de eliminación.

Técnicas de mejoramiento de las soluciones. Usar más cifras significativas. Esto tiene una efectividad transitoria y limitada. Pivoteado. Si un elemento pivote es cero (o cercano a cero), esto provoca una división por cero o desbordamiento. El problema puede evitarse haciendo: Pivoteado parcial. Se intercambian las filas de manera que el mayor elemento sea el pivote. Pivoteado total. Se busca el mayor elemento en todas las filas y columnas para situarlo como pivote mediante intercambio.

Método de Gauss-Jordan. Es una variante del método de eliminación gaussiana. Las principales diferencias son: Cuando se elimina una incógnita, es eliminada de todas las restantes ecuaciones en lugar de eliminarla solamente de las siguientes. Todas las filas se normalizan dividiéndolas por sus elementos pivotes respectivos. El proceso de eliminación da como resultado una matriz idéntica. Consecuentemente, no es necesario llevar a cabo sustitución inversa.

Ejemplo de aplicación del método de Gauss-Jordan. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 3x 1 − 0.1x 2 − 0.2x 3 = x 1 + 7x 2 − 0.3x 3 = − x 1 − 0.2x x 3 = 71.4

Ejemplo de aplicación del método de Gauss-Jordan. Paso 1. Construcción de la matriz aumentada:

Ejemplo de aplicación del método de Gauss-Jordan. Paso 2. Normalización de la primera fila dividiendo por el elemento pivote 1:

Ejemplo de aplicación del método de Gauss-Jordan. Paso 3. Eliminación de los términos de la primera columna de las filas 2 y 3:

Ejemplo de aplicación del método de Gauss-Jordan. Paso 4. Normalización de la segunda fila:

Ejemplo de aplicación del método de Gauss-Jordan. Paso 5. Eliminación de los términos de la segunda columna en las filas primera y tercera:

Ejemplo de aplicación del método de Gauss-Jordan. Paso 6. Normalización de la tercera fila:

Ejemplo de aplicación del método de Gauss-Jordan. Paso 7. Eliminación de los términos en la tercera columna en las filas primera y segunda: