Leyes de los senos y de los cosenos Luis Villacres

Notación Utilizaremos letras mayúsculas como A, B y C, para representar a los ángulos de un triángulo, y letras minúsculas a,b y c, para representar los lados opuestos correspondientes. B C a b c A

Ley de los senos Si ABC es un triángulo con lados a, b y c, entonces a Sen A A B C c a b A B C c a b = b Sen B = c Sen C

A B C c a b A B C c a b Una idea de la demostración: h Sea h la altura de cualquiera de los triángulos. Sen A = hbhb o bien,h = b Sen A, así mismo, Sen B = haha o bien, h = a Sen B.. Entonces, Entonces tenemos que, a Sen A = b Sen B ¿Cómo continuar? h

La ley de los senos también se puede escribir en su forma Recíproca: Sen A a = Sen B b = Sen C c.

Aplicaciones Ejemplo 1(resolución de triángulos). Para el triángulo de la figura, C=102.3 grados, B=28.7 grados y b=27.4 metros. Encontrar los ángulos y lados restantes. C A B c a b

Solución: El tercer ángulo del triángulo es A = B - C = 49 grados. a Sen 49 = b Sen 28.7 = c Sen Usando b = 27.4 se obtiene, a = 27.4 Sen 28.7 Sen 49=43.06 mts. Y c = 27.4 Sen 28.7 = mts. Sen Por la ley de los senos tenemos que:.

Ejemplo 2 (área de un triángulo oblicuo). La idea de la demostración de la ley de los senos sugiere una fórmula para el área de triángulos oblicuos. C A B a c b h C A B h a b c Area = 1/2(base)(altura) = (1/2) c (b sen A) = (1/2) bc sen A. De manera similar se obtienen las fórmulas: Area = (1/2) ab sen C = (1/2) ac sen B.

Ejemplo 3. Una carrera de veleros se inicia en el punto A se debe llegar al punto B localizado a 52 grados al suroeste. Después se debe ir hasta el punto C que está a 40 grados al sureste y finalmente regresar al punto de partida, como se muestra en la figura. El punto C se encuentra exactamente a 8 kms al sur del punto A. Calcule la distancia total del recorrido. A B C kms D Solución: Como las lineas BD y AC son paralelas, entonces <DBC=<BCA. Entonces el otro ángulo del triángulo es B = = 88 grados. Por la ley de los senos tenemos que: a Sen 52 = b Sen 88 = c Sen 40 Pero b=8, entonces a = 8 Sen 88 (sen 52) ¿Cómo continuar? N S E O = kms.

Ley de los cosenos Forma estándar Forma alternativa a2 a2 = b2 b2 + c2 c2 –2bc cos A Cos A = (1/2bc) (b 2 + c2 c2 – a2)a2) b2 b2 = a2 a2 + c2 c2 –2ac cos B Cos B = (1/2ac) (a 2 + c2 c2 – b2)b2) c2 c2 = a2 a2 + b2 b2 –2ab cos C Cos C = (1/2ab) (a 2 + b2 b2 – c2)c2) Observe que si A=90, entonces a es la hipotenusa de un triángulo rectángulo y de la primera relación se obtiene que a 2 = b 2 + c 2. Entonces el Teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de los cosenos. En un triágulo de ángulos A, B, C y lados a, b, c, se cumplen las siguientes relaciones:

Ejemplo 4. Encontrar los tres ángulos de un triángulo cuyos lados son a= 80 mts., b = 19 mts., c=14 mts. Solución. B B=19 mts. C c=14 mts. A a=8 mts. Por la ley de los cosenos tenemos que Cos B = (1/2ac) (a 2 + c 2 – b 2 ) = (1/2)(8)(14) ( – 19 2 ) = Como cos(B) es negativo, sabemos que B es un ángulo obtuso. De hecho, B = grados. Podemos seguir aplicando la ley de los cosenos para obtener los otros Ángulos, pero es más simple usar ahora la ley de los senos, pues b Sen B = a Sen A,Sen A =a Sen B b = Como B es obtuso, A debe ser agudo entoncesA=22.08 grados.

La Fórmula de Herón Si un triángulo tiene lados a, b, c, su área es: Area =(s(s-a)(s-b)(s-c)) 1/2, donde s = (1/2)(a+b+c). ¿Por qué? Por el ejemplo 3, sabemos que Area =(1/2) bc sen A =((1/4)b 2 c 2 sen 2 A) 1/2 =((1/4)b 2 c 2 (1-cos 2 A)) 1/2 = ([(1/2)bc(1+cos A)] [(1/2)bc(1-cos A)]) 1/2. Usando la ley de los cosenos se puede ver que (1/2)bc(1+cos A) = a+b+c 2 -a+b+c 2 = s(s-a) (1/2)bc(1-cos A) = a-b+c 2 a+b-c 2 = (s-b)(s-c). Entonces podemos concluir que Area =(s(s-a)(s-b)(s-c)) 1/2

Ejemplo 4. Encontrar el área de un triángulo cuyos lados miden a=43 mts., b=53 mts., y c=72 mts. Solución: Usando la fórmula de Herón tenemos que S=(1/2)(a+b+c) = (1/2) 168 = 84. Entonces, Area = (s(s-a)(s-b)(s-c)) 1/2 = (84(41)(31)(12)) 1/2 = mts.