. Temas 10-11 FUNCIONES, LÍMITES DE FUNCIONES y CONTINUIDAD
1. CONCEPTO DE FUNCIÓN Relación entre 2 magnitudes de tal forma que a cada valor de la 1ª le corresponde un único valor de la 2ª. Variable independiente (la que se fija previamente, x). Variable dependiente: se deduce de la anterior [y = f(x)]. Elementos: Dominio: conjunto de los valores posibles de la variable independiente. D (f) Recorrido: conjunto de los valores posibles de la variable dependiente. F (D)
Dominio de la función polinómica entera El dominio es R, cualquier número real tiene imagen. f(x)= x2 - 5x + 6 Dominio de la función racional El dominio es R menos los valores que anulan al denominador (no puede existir un número cuyo denominador sea cero). Dominio de la función irracional de índice impar El dominio es R. Dominio de la función irracional de índice par El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
2. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO.
3. FUNCIONES ACOTADAS. Una función está acotada superiormente si existe un número real k tal que para todo x es f (x) < k. El número k se llama cota superior. Una función está acotada inferiormente si existe un número real k tal que para todo x es f (x) > k. El número k se llama cota inferior. Una función está acotada si lo está superior e inferiormente.
4. MÁXIMOS Y MÍNIMOS Una función tiene en x = a un máximo absoluto si es creciente a la izq. de ese punto y decreciente a su dcha. Una función tiene en x = a un mínimo absoluto si es decreciente a la izq. de ese punto y creciente a su dcha. Una función tiene en x = a un máximo relativo si f (a) es mayor o igual que en los puntos próximos al punto a. Una función tiene en x = a un mínimo relativo si f (a) es menor o igual que en los puntos próximos al punto a.
5. FUNCIONES SIMETRICAS Funciones pares: Una función f(x) es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando para todo x del dominio se verifica que f (-x) = f (x). Funciones impares: Una función f(x) es simétrica respecto del origen cuando para todo x del dominio se verifica que f (-x) = -f (x).
6. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. La composición de una función f con otra g es una función denotada por g o f, y definida así: (g o f) (x) = g [f (x)].
7. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. Una función f(x) tiene un límite L en el punto xo, si a medida que x se aproxima a xo, f(x) se aproxima a L. Límites laterales: valores hallados al estudiar la tendencia de la función a la izq. y a la dcha de un punto. a+ y a-. Si lo límites laterales de una función en un punto son distintos, la función no tiene límite en él. Si los límites laterales son iguales, la función tiene límite.
2. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES. EXPRESIONES INDETERMINADAS (Repaso de las propiedades del Tema 9: suma, resta, producto, cociente, constante y potencia). Expresiones indeterminadas:
3. CÁLCULO DE LÍMITES. Indeterminación k/0 k . Se calculan los límites laterales. Indeterminación 0/0. Descomponemos en factores el numerador y el denominador y simplificamos. Indeterminación . Dividimos numerador y denominador por la máxima potencia de x del denominador.
4. CONTINUIDAD. Una función es continua en el punto x = a si: Existe el límite de la función f(x) en x = a La función está definida en x = a; es decir, existe f(a). Los 2 valores anteriores coinciden: lim f(x)xa = f(a). Continuidad lateral: f es continua en a+ si lim f(x) xa+ =f(a). f es continua en a- si lim f(x) xa- =f(a).
5. DISCONTINUIDADES Una función es discontinua en un punto cuando no existe límite en él o existiendo no coincide con el valor de la función en el mismo. Discontinuidad inevitable: cuando existen los límites laterales y son distintos. Discontinuidad evitable: cuando existe límite y no coincide con el valor de la función en el mismo.