CARLOS ANDRES MONTENEGRO COLEGIO TOLIMENSE PROFESOR: CARLOS ANDRES MONTENEGRO LIC. EN MATEMATICAS

LOGICA PROPOSICIONAL

1.PROPOSICIONES LOGICAS La lógica proposicional o también llamada lógica matemática estudia las proposiciones, entendiendo como tales a los enunciados declarativos que tienen la propiedad de ser verdaderos o falsos ; pero no ambas al mismo tiempo. Ejemplo : Simón bolívar nació en caracas Los pájaros no vuelan 9 – 4 = 8

2.CONECTIVOS LOGICOS Negación Disyunción Conjunción Condicional Entre las proposiciones se definen ciertas operaciones denominadas conectivos lógicos . Los principales conectivos lógicos son : Negación Disyunción Conjunción Condicional Bicondiciona

2.1.NEGAION Dada una proposición p, se llama negación de p a la proposición “no p” que se representa por p TABLA DE VERDAD “Si p es verdadera  p es falsa; si p es falsa , p es verdadera” Ejemplo : Si p : “el hombre es mortal” p: “ el hombre no es mortal”; podemos negar una negación p : “no es cierto que el hombre no es mortal” lo anterior se lee doble no p p    p V F

2.2.DISYUNCION TABLA DE VERDAD dadas las proposiciones p y q , se llama disyunción d p y q a la proposición “p o q” que se representa por p  q. TABLA DE VERDAD “p  q es verdadera si p es verdadera o q es verdadera” Ejemplo : Si p : “hace frio en invierno” y q : “Napoleón invadió Rusia” Entonces : p  q : “Hace frio en invierno o Napoleón invadió Rusia” p q   p  q V V V F F V F F V F

2.3.CONJUNCION TABLA DE VERDAD Dadas las proposiciones p y q , se llama conjunción de p y q a la proposición “p y q” representada por p  q Ejemplo : Si p : “1 es un numero impar” y q : “3 es un numero primo”, Entonces: p  q : “1 es un número impar y 3 es un número primo” TABLA DE VERDAD “p  q es verdadera si p y q son verdaderas simultáneamente” p q   p  q V V V F F V F F V F

2.4.EL CONDICIONAL TABLA DE VERDAD se llama condicional de p y q a la proposición “si p entonces q” y se representa por “p  q “ , p se llama antecedente y q consecuente del condicional p  q Ejemplo: Si p : “2 es número primo” y q : “5 es menor que 4” Entonces: p  q: “si 2 es número primo entonces 5 es menor que 4” TABLA DE VERDAD p  q es verdadera si p es falsa o q es verdadera “ p q pq V V V F F V F F   V F

2.5.EL BICONDICIONAL se llama bicondicional de dos proposiciones p y q a la proposición “p si y sólo si q” representada por “p  q” TABLA DE VERDAD “pq es verdadera si p y q son ambas verdaderas o ambas falsas” Ejemplo : p : “ Juan ingresa a la universidad” q : “Juan estudia mucho” Entonces: p q : “Juan ingresa a la universidad si y sólo si estudia mucho” p q pq V V V F F V F F   V F

3.PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS Una proposición es simple si no contiene ningún conectivo lógico. Una proposición es compuesta si contiene al menos un conectivo lógico Ejemplo: “Lima es la capital del Perú” “el perro es un animal cuadrúpedo” “dos es un numero par” Ejemplo: “Hace calor o hace frío” “Gabriel va al parque si y solo si tiene dinero” “si cuatro es par, entonces, es divisible por dos”

DE PROPOSICIONES COMPUESTAS TABLAS DE VERDAD DE PROPOSICIONES COMPUESTAS Sea la proposición compuesta “ (p  q )  r” Distinguimos aquí “el condicional” como el conectivo lógico principal que caracteriza a la proposición. Es decir, identificamos a esta proposición como un condicional. En este caso no es dificil hacer tal identificación ya que está sugerida por el paréntesis el cual nos indica que primero debe efectuarse la disyunción p q y después el condicional (p  q)  r En caso de no existir signos de colección , adoptamos la convención de que el conectivo “ ” liga con más fuerza que “  ” o “  ” , y a su vez , cada uno de estos liga con mayor fuerza que “” o “ ”

La tabla de verdad de la proposición compuesta “p  q  (q  p)  EJEMPLO: La tabla de verdad de la proposición compuesta “p  q  (q  p)  p q q  p q  (q  p) p  q  (q  p) V V V F F V F F   V V V F F F F V V F F V

4.TAUTOLOGIA Y CONTRADICCIONES En lógica proposicional es de mucha importancia el estudio de las proposiciones compuestas que tienen la propiedad de ser verdaderas siempre, dichas proposiciones se denominan tautologías Una proposición compuesta es una contradicción si es siempre falsa, cualesquiera sean los valores de verdad de sus componentes Nota :las proposiciones que no son tautologías ni contradicciones se llaman contingencias

p  p p   p V F F V F V V V V F p  p p   p V F F F F V V F V F EJEMPLO: p   p es una tautología En efecto: EJEMPLO: p   p es una contradicción En efecto: 2 1 2 1 p  p p   p V F   F V F V V V V F p  p p   p V F   F F F V V F V F En la columna 2 vemos que esta proposición siempre es verdadera En la columna 2 vemos que esta proposición siempre es falsa

ESPERO QUE ESTE MATERIAL PUEDA ACLARARLES LAS DUDAS. El mundo se esta quedando sin genios: Einstein murió, Beethoven se quedo sordo y a mi me duele la cabeza