 DEFINICIÓN: Es el lugar geométrico de los puntos de un plano cartesiano que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo. El punto fijo se llama CENTRO ( C ) y la distancia de los puntos al centro se denomina RADIO ( r ) de la circunferencia

La distancia de C a P será “r”: d(CP) = r Elevando al cuadrado, tendremos ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA es: Por consiguiente la:

 1) Determinar la ecuación de la circunferencia de radio 3 y centro en (-4 ; 6)

 La ecuación de la circunferencia será: Sabemos que la ecuación ordinaria de una circunferencia es:

 2)Determinar la ecuación ordinaria de la circunferencia de centro (5 ; 3) y radio 4 Tenemos : h = 5 k = 3 r = 4 =>

 Si el centro C es (0 ; 0) => h = 0 y k = 0  Por consiguiente en la ecuación ordinaria tendremos: Llamada también ECUACIÓN CANÓNICA o FORMA CANÓNICA

 Desarrollando la ecuación ordinaria tenemos: Si: -2h = D -2k = E y Si: -2h = D -2k = E h= - D/2 k= - E/2 => C ( -D/2; -E/2)

 1)Determinar la ecuación general de una circunferencia de centro (5 ; 4) y radio 6

Reemplazamos los valores en la ecuación ordinaria Efectuamos los binomios al cuadrado y reducimos los términos semejantes

 2) Dada la circunferencia de ecuación: Calcular las coordenadas de su centro y su radio

 Podemos resolver este ejercicio por diferentes caminos.  Uno de ellos podría ser completando cuadrados Observamos que el centro de la circunferencia es (2 ; -7) y el radio r = 4

 También podemos hacer uso de las fórmulas Entenemos D = -4pero D = -2h => -4 = -2h=> h = 2 E = 14pero E = -2k => 14 = -2k=> K = -7 F = 37peroF= r² => r²= 5=> r= 43 –37 r²= 16 => r = 4

 3) Determinar el radio y las coordenadas del centro de la circunferencia x 2 + y 2 + 4x -10y + 13 = 0

 4) Calcular la ecuación de la circunferencia de centro (1, 1) y que contiene al punto (-2, 3).

 5) Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto (3, 4) y es tangente a la recta x - 2y + 3 = 0

 6)Graficar las siguientes ecuaciones  a) x 2 + y 2 = 25

y x r = 5 C(0, 0)  a) x 2 + y 2 = 25

 b) x 2 + (y - 1) 2 = 25

y x r = 5 C(0, 1) b) x 2 + (y - 1) 2 = 25

 c) (x + 1) 2 + y 2 = 9

y x r = 3 C(-1, 0)  c)(x + 1) 2 + y 2 = 9

 d)(x - 2) 2 + (y - 2) 2 = 16

y x r = 4 C(2, 2)  d)(x - 2) 2 + (y - 2) 2 = 16

1. Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro en C(-3, 2) y radio 6. Dibuje la curva. 2. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y tiene su centro en el punto de intersección de las rectas: x – 2y – 1 = 0, y, x + 3y – 6 = 0 3. Encuentre la ecuación de la circunferencia uno de cuyos diámetros es el segmento de extremos (-1, -3) y (7, -1).

 4. En cada uno de los casos siguientes la ecuación representa una circunferencia. Encuentre las coordenadas del centro y el radio. Dibuje la curva.   x 2 + y 2 + 4x – 8y = 0  x 2 + y 2 – 10y = 0  x 2 + y 2 – 25 = 0  x 2 + y 2 – 8x = 0  x 2 + y 2 – 12x – 16y = 0  3x 2 + 3y 2 – 4x + 8y = 0  x 2 + y 2 – 4x – 2y – 5 = 0  x 2 + y 2 + 5x + 6y – 9 = 0  x 2 + y 2 + 6x – 14y – 64 = 0  9x 2 + 9y 2 – 6x – 12y - 11 = 0

 5. En cada uno de los ejercicios que siguen, se pide encontrar la ecuación de la circunferencia que satisface las condiciones dadas. En todos los casos haga un dibujo que ilustre la situación.  a. Tangente a los ejes coordenados y centro en C(-3, 3)  b. Tangente a la recta 3x – 4y + 30 = 0, y centro en C(-4, -3)  c. Tangente a la recta 5x + 12y – 13 = 0, y centro en C(1, -1)  6.. Encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen, por el punto (4, 8) y tiene su centro en la recta y = 3.