LEONARDO LÓPEZ C. ECONOMIA ESTADISTICA COMPUTARIZADA PARALELO: 261

 Este tipo se presenta cuando dos o más variables independientes influyen sobre una variable dependiente. Ejemplo: Y = f(x, w, z).  Objetivo: Se presentara primero el análisis de regresión múltiple al desarrollar y explicar el uso de la ecuación de regresión múltiple, así como el error estándar múltiple de estimación. Después se medirá la fuerza de la relación entre las variables independientes, utilizando los coeficientes múltiples de determinación.

Dispone de una ecuación con dos variables independientes adicionales: Se puede ampliar para cualquier número "m" de variables independientes:

Para poder resolver y obtener y en una ecuación de regresión múltiple el cálculo se presenta muy tediosa porque se tiene atender 3 ecuaciones que se generan por el método de mínimo de cuadrados:

El error estándar Es una medida de dispersión la estimación se hace más precisa conforme el grado de dispersión alrededor del plano de regresión se hace mas pequeño. Para medirla se utiliza la formula: Y : Valores observados en la muestra : Valores estimados a partir a partir de la ecuación de regresión n : Número de datos m : Número de variables independientes

El coeficiente de determinación múltiple Mide la tasa porcentual de los cambios de Y que pueden ser explicados por X1, X2 y X3 simultáneamente.

La hipótesis de normalidad afirma que los errores del modelo siguen una distribución normal. Esta hipótesis se contrasta a partir de los residuos estandarizados i = 1n.  Gráficos para observar la normalidad son: el histograma, estimador núcleo de la densidad de Rosenblatt-Parzen, gráfico p - p y gráfico q - q.  Contrastes de normalidad son: contraste de asimetría y kurtosis, contraste chi-cuadrado, contraste de Kolmogorov-Smirnov-Liliefors. La falta de normalidad influye en el modelo en:  Los estimadores mínimo-cuadráticos no son eficientes (de mínima varianza).  Los intervalos de confianza de los parámetros del modelo y los contrastes de significación son solamente aproximados y no exactos.

Causas que dan origen a la falta de normalidad son:  Existen observaciones heterogéneas: el modelo especificado no es correcto porque se han omitido variables regresoras  Existe asimetría en la distribución: Este problema suele estar relacionado con otros problemas como falta de linealidad o heterocedasticidad, la solución de transformar las observaciones pueden resolverlos conjuntamente.

Una hipótesis del modelo de regresión es la homocedasticidad y todo lo comentado sobre este problema en el modelo de regresión lineal simple sigue siendo válido en el modelo de regresión lineal múltiple. La falta de homocedasticidad influye en el modelo de regresión lineal, los estimadores mínimo-cuadráticos siguen siendo centrados pero no son eficientes y las fórmulas de las varianzas de los estimadores de los parámetros no son correctas. Por tanto no pueden aplicarse los contrastes de significación.

La heterocedasticidad se detecta en los gráficos de residuos:  De forma general, en el gráfico de residuos frente a las predicciones.  En el gráfico de residuos frente a una variable explicativa si se sospecha que la heterocedasticidad es debida a la variable explicativa Xj.  Si los gráficos anteriores son dudosos se pueden hacer grupos de los residuos ordenados de menor a mayor según las predicciones y en cada grupo calcular la media de las predicciones y la desviación típica de los residuos. Si hay homocedasticidad, la nube de puntos se ajusta a una recta horizontal, en caso contrario, es necesario transformar los datos.  Existen contrastes específicos para contrastar la homocedasticidad.

La independencia de los errores es una hipótesis básica en el estudio de un modelo de regresión lineal. La falta de cumplimiento de la hipótesis de independencia tiene efectos graves sobre los resultados del estudio. Influye en:  Los estimadores son centrados pero ineficientes (no son de varianza mínima).  El estimador R2 normalmente subestima el parámetro 2, lo que hace que los contrastes de significación (contrastes individuales de la t) no sean válidos y tienden a detectar relaciones inexistentes, denominadas relaciones espúreas, que son relaciones falsas entre variables independientes que siguen una evolución análoga en el tiempo y tienen un R2 alto.  Las predicciones son ineficientes.  La falta de independencia se suele dar situaciones en que las observaciones son recogidas secuencialmente en el tiempo. Esto ocurre en el estudio de muchas variables económicas, sociales y demográficas. En este caso la variable “tiempo” puede ser una variable regresora.

Se detecta la falta de independencia en:  Los siguientes gráficos: el gráfico de residuos frente al índice (o tiempo), ; el gráfico de frente a ; el gráfico de la función de autocorrelación simple de los residuos (fas).  Los siguientes contrastes de independencia: el contraste de Durbin- Watson sobre el primer coeficiente de correlación; el contraste de Ljung-Box sobre las autocorrelaciones que se consideren significativas.

Si existe dependencia entre las observaciones la metodología descrita para estudiar los modelos de regresión lineal general por mínimos cuadrados ordinarios no es válida y, en la mayoría de las situaciones, deben utilizarse técnicas de series de tiempo y regresión dinámica. En algunas situaciones se pueden estimar los parámetros del modelo de regresión por el método de mínimos cuadrados generalizados.

Se desea predecir el valor de la respuesta, Y, de un individuo del que se sabe que = t, utilizando el ajuste de un modelo de regresión lineal de la variable Y respecto al vector de variables regresoras. El predictor que minimiza el Error Cuadrático Medio de Predicción, E viene dado por: Por tanto, la predicción de Y t = Y/ = t es el mismo valor que se obtiene en la estimación de mt pero su varianza es mayor.