MÉTODO CONGRUENCIALES David Chacón

Método Congruenciales Se han desarrollado básicamente tres métodos de congruenciales para generar números pseudoaleatorios, los cuales se derivan del empleo de diferentes versiones de la relación fundamental de congruencia. El objetivo de cada uno de los métodos es la generación en un tiempo mínimo, de sucesiones de números aleatorios con periodos máximos. Los métodos congruenciales son: el aditivo, el multiplicativo y el mixto.

Método Congruencial Aditivo Este algoritmo requiere una secuencia previa de n números enteros X 1, X 2, X 3, X 4,…, X n para generar una nueva secuencia de números enteros que empiezan en X n+1, X n+2, X n+3, X n+4 … Su ecuación recursiva es: X i = (X i-1 + X i-n ) mod (m) i= n+1, n+2, n+3…,N Los números r i, pueden ser generados mediante la ecuación: r i = X i /(m-1)

Ejemplo - Método Congruencial Aditivo Generar 7 números pseudoaleatorios entre cero y uno a partir de la siguiente secuencia de números enteros: 65,89,98,03,69; m = 100. Sean X 1 = 65, X 2 = 89, X 3 = 98, X 4 = 03, X 5 = 69, para generar r 1, r 2, r 3, r 4,r 5,r 6 y r 7 antes es necesario generar X 6, X 7, X 8, X 9, X 10, X 11, X 12. X 6 = (X 5 + X 1 ) mod 100 = ( ) mod 100 = 34 r 1 = 34/99 = X 7 = (X 6 + X 2 ) mod 100 = ( ) mod 100 = 23 r 2 = 23/99 = X 8 = (X 7 + X 3 ) mod 100 = ( ) mod 100 = 21 r 3 = 21/99 = X 9 = (X 8 + X 4 ) mod 100 = (21+ 03) mod 100 = 24 r 4 = 24/99 = X 10 = (X 9 + X 5 ) mod 100 = ( ) mod 100 = 93 r 5 = 93/99 = X 11 = (X 10 + X 6 ) mod 100 = ( ) mod 100 = 27 r 6 = 27/99 = X 12 = ( X 11 + X 7 ) mod 100 = ( ) mod 100 = 50 r 7 = 50/99 =

Método Congruencial Multiplicativo ◦ Surge del algoritmo Congruencial lineal cuando C=0; entonces la ecuación es: ◦ La ventaja de este método es que en comparación con el algoritmo lineal es que este implica una operación menos.

Método Congruencial Multiplicativo ◦ De acuerdo con Banks, Carson, Nelson y Nicol, las condiciones que deben cumplir los parámetros para que el algoritmo congruencial multiplicativo alcance su máximo periodo son: a= 3 + 8k o a = 5 + 8k k= 0,1,2,3,… X 0 debe ser un numero impar g debe ser entero A partir de estas condiciones se logra un período de vida máximo

Ejemplo - Método Congruencial Multiplicativo ◦ Generar suficientes números entre 0 y 1 con los parámetros: Xo = 17, k = 2 y g = 5, hasta encontrar el periodo o ciclo de vida. ◦ Solución: a= 5 + 8(2) = 21 y m = 32 Xo = 17 X1 = (21*17) mod 32 = 5 r1 = 5/31 = X2 = (21*5) mod 32 = 9 r1 = 9/31 = X3 = (21*9) mod 32 = 29 r1 = 29/31 = X4 = (21*29) mod 32 = 1 r1 = 1/31 = X5 = (21*1) mod 32 = 21 r1 = 21/31 = X6 = (21*21) mod 32 = 25 r1 = 25/31 = X7 = (21*25) mod 32 = 13 r1 = 13/31 = X8 = (21*13) mod 32 = 17 r1 = 17/31 =

Método Congruencial Mixto Los generadores congruenciales lineales generan una secuencia de numero pseudoaleatorios en la cual el próximo numero pseudoaleatorios es determinado a partir del numero generado, es decir el numero pseudoaleatorios Xn+1 es derivado a partir del numero pseudoaleatorios Xn Para el caso particular del generador Congruencial mixto, la relación de decurrencia es la siguiente:

Método Congruencial Mixto ◦ X0 = es la semilla ◦ a =el multiplicador ◦ c = constante aditiva ◦ m = el modulo (m > X0, a,c) ◦ X0, a, c >0 Esta relación de recurrencia nos dice que Xn+1 es el residuo de dividir a Xn+c entre el modulo. Lo anterior significa que los valores posibles de Xn+1 son 0,1,2,3....m-1, es decir, m representa el número posible de valores diferentes que pueden ser generados

Ejemplo - Método Congruencial Mixto ◦ supongamos que se tiene un generador en el cual los valores de sus parámetros son: a = 5, c = 7, X0 = 4 y m = 8. El generador quedará de la siguiente manera: X n+1 = (5 X n + 7) ◦ mod 8 En la tabla 2, se muestran los números aleatorios generados por este método.

Pregunta Que método requiere una secuencia previa de n números enteros X1, X2, X3, X4…, Xn para generar una nueva secuencia: ◦ Aditivos ◦ Multiplicativo ◦ Congruencial Mixto ◦ Ninguna Respuesta: a En el método aditivo en ecuación recursiva es: ◦ X = (Xi-1 + X) mod (m) ◦ Xi = (Xi-1 + Xi-n) mod (m) i= n+1, n+2, n+3…,N ◦ Xi = (Xi-1 + Xi) (m) Respuesta: b

Pregunta En el método aditivo el números ri, pueden ser generados mediante la ecuación: ◦ r i = X i /(m-1) ◦ r = X i /(m) ◦ r = X * m Respuesta: a El método multiplicativo en la Congruencial lineal cuando C=0; entonces la ecuación es: ◦ X = (a X) mod m ◦ X n+1 = (a X n ) mod m ◦ X n+2 = (a X n ) ◦ Respuesta: b

Pregunta El método multiplicativo debe cumplir los parámetros para alcanzar su máximo: ◦ Periodo de vida máximo ◦ Número impar ◦ Numero par Respuesta: a De cuántas maneras puede efectuarse una operación en el método multiplicativo: ◦ 2 maneras ◦ N maneras ◦ 1 manera ◦ Ninguna de las anteriores Respuesta: b

Pregunta El método Congruencial relación de recurrencia nos dice que Xn+1 es el residuo de dividir a ◦ Xn+c ◦ X numero ◦ X -1 ◦ Ninguna de las anteriores Respuesta: a Para el caso particular del generador Congruencial mixto, la relación de decurrencia es la siguiente: ◦ Xn+1 = (a + b) mod m ◦ Xn=(ax n+1+1+C) mod m ◦ Xn+1 = (a Xn + b) mod m ◦ X=(Xn+a) mod C Respuesta: b

Pregunta En el método congruencia significa que los valores posibles de Xn+1 son 0,1,2,3....m- 1: ◦ m representa el número posible de valores diferentes ◦ n serie le número infinito ◦ x todo el elemento requerido ◦ Ninguna Respuesta: a

Pregunta Que método requiere una secuencia previa de n números enteros X1, X2, X3, X4…, Xn para generar una nueva secuencia: ◦ Aditivos ◦ Multiplicativo ◦ Congruencial Mixto ◦ Ninguna Respuesta: En el método aditivo en ecuación recursiva es: ◦ X = (Xi-1 + X) mod (m) ◦ Xi = (Xi-1 + Xi-n) mod (m) i= n+1, n+2, n+3…,N ◦ Xi = (Xi-1 + Xi) (m) Respuesta:

Pregunta En el método aditivo el números ri, pueden ser generados mediante la ecuación: ◦ r i = X i /(m-1) ◦ r = X i /(m) ◦ r = X * m Respuesta: El método multiplicativo en la Congruencial lineal cuando C=0; entonces la ecuación es: ◦ X = (a X) mod m ◦ X n+1 = (a X n ) mod m ◦ X n+2 = (a X n ) ◦ Respuesta:

Pregunta El método multiplicativo debe cumplir los parámetros para alcanzar su máximo: ◦ Periodo de vida máximo ◦ Número impar ◦ Numero par Respuesta: De cuántas maneras puede efectuarse una operación en el método multiplicativo: ◦ 2 maneras ◦ N maneras ◦ 1 manera ◦ Ninguna de las anteriores Respuesta:

Pregunta El método Congruencial relación de recurrencia nos dice que Xn+1 es el residuo de dividir a ◦ Xn+c ◦ X numero ◦ X -1 ◦ Ninguna de las anteriores Respuesta: Para el caso particular del generador Congruencial mixto, la relación de decurrencia es la siguiente: ◦ Xn+1 = (a + b) mod m ◦ Xn=(ax n+1+1+C) mod m ◦ Xn+1 = (a Xn + b) mod m ◦ X=(Xn+a) mod C Respuesta:

Pregunta En el método congruencia significa que los valores posibles de Xn+1 son 0,1,2,3....m- 1: ◦ m representa el número posible de valores diferentes ◦ n serie le número infinito ◦ x todo el elemento requerido ◦ Ninguna Respuesta: