UNIDAD 3 VARIABLES ALEATORIAS

Definición ESPACIO MUESTRAL. Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico se denomina espacio muestral y es denotado por “S” o “Ω” VARIABLE ALEATORIA: Es una función que asocia un número real a cada elemento del espacio muestral. Se utilizará una letra mayúscula (X) para denotar una variable aleatoria y su correspondiente letra minúscula (x) para algunos de sus valores

VA: Definición Número de caras al lanzar 3 monedas. Elementos del espacio muestral C +C+ C++ CC+ C+C +CC CCC Nº reales (# de caras) caras Ley de correspondencia

Tipos de VA Variable aleatoria discreta: Variable aleatoria discreta: son respuestas numéricas que resultan de un proceso de conteo, solo puede tomar ciertos valores aislados La cantidad de alumnos regulares en un grupo escolar. El número de sellos en cinco lanzamientos de una moneda. Número de circuitos en una computadora. El número de vehículos vendidos en un día, en un lote de autos Variable aleatoria continua. Variable aleatoria continua. Es aquella que puede tomar al menos teóricamente todos los valores posibles dentro de cierto intervalo de la recta real La estatura de un alumno de un grupo escolar. El peso en gramos de una moneda. Longitud, presión, temperatura, tiempo, voltaje, peso. Las dimensiones de un vehículo.

Tipos de V.A Ejemplos a.El tiempo hasta que un proyectil regresa a la tierra. b.El numero de veces que un transistor en una memoria de computadora cambia de estado en una operación. c.El volumen de gasolina que se pierde por evaporación durante el llenado de un tanque de combustible. d.El diámetro exterior de una flecha maquinada. e.El número de grietas que exceden tres pulgadas en 10 millas de una carretera interestatal. f.El peso de una pieza de plástico moldeada por inyección. g.El número de moléculas en una muestra de gas h.La concentración de de la salida de vapor de un reactor. i.La corriente en un circuito electrónico.

Distribuciones Distribución de probabilidad. Es una distribución teórica de frecuencias que describe cómo se espera que varíen los resultados de un experimento. Distribuciones discretas. Son aquellas donde las variables asumen un número limitado de valores, por ejemplo el número de años de estudio.

Distribuciones Distribuciones continuas. Son aquellas donde las variables en estudio pueden asumir cualquier valor dentro de determinados límites; por ejemplo, la estatura de un estudiante.

Bernoulli

Binomial Un experimento que tenga las siguientes características se dice que sigue el modelo de distribución BINOMIAL. a)En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: éxito o fracaso b)El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente c)La probabilidad del suceso A es constante para todas las pruebas, la representamos por p la probabilidad de un éxito, la posibilidad contraria la representamos por q = 1 - p d)El experimento consta de n pruebas

Binomial

BINOMIAL Ejercicio 1 Tres automóviles se seleccionan al azar, y cada uno se clasifica como equipado con motor diésel (E) y no equipado con motor diésel. Si X = el número de automóviles entre los tres con motor diésel, enumere cada resultado en S (espacio muestral) y su valor X asociado. La probabilidad de encontrar un vehículo con motor diésel es de 0.2 Ejercicio 2 En un proceso de fabricación de semiconductores, se prueban ocho obleas de un lote, cada oblea se clasifica como pasa o falla. Suponga que la probabilidad de que una oblea pase la prueba es de 0,8 y que las obleas son independientes. Defina las probabilidades que cada uno de los posibles eventos y la va X. Cuál es la probabilidad de a) por lo menos 3 pasen la prueba b) pasen la prueba de 2 a 5 y c) exactamente 6 pasen la prueba

POISSON

POISSON

POISSON Ejercicio 1 En un proceso de fabricación en el cual se producen artículos de vidrio, se presentan defectos o burbujas que en ocasiones hacen que las piezas no puedan ser enviadas al mercado. Se sabe que como probabilidad una de cada mil de estos productos tiene una o más burbujas. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 8000 se encuentren 7 piezas con defecto, b) menos de 3 piezas? Ejercicio 2 En un estudio de inventario se determinó qué, en promedio, las demandas correspondientes a un cierto artículo almacenado fueron de 5 por día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día determinado este artículo se requiera mas de 5 veces y b) no se requiera en absoluto?

GEOMÉTRICA Una V.A. Geométrica representa el número de fracasos que ocurren hasta obtener el primer éxito en la realización de ensayos de Bernoulli con probabilidad de p de éxitos. Ejemplos: Número de artículos revisados en un lote hasta que aparezca el primero con falla. Número de candidatos a entrevistar para un puesto de trabajo antes de encontrar el adecuado Número de melones que un cliente exigente manosea antes de conseguir aquel que satisface sus criterios

GEOMÉTRICA

GEOMÉTRICA EJERCICIO 1: Sí la probabilidad de que un cierto dispositivo de medición muestre una desviación excesiva es de 0.05, ¿cuál es la probabilidad de que; a) el sexto de estos dispositivos de medición sometidos a prueba sea el primero en mostrar una desviación excesiva?, b) el séptimo de estos dispositivos de medición sometidos a prueba, sea el primero que no muestre una desviación excesiva?. EJERCICIO 2: Una máquina detecta fallas en los productos que elabora una fábrica. Si los productos tienen una probabilidad de falla del 1%, calcular la probabilidad de que la maquina encuentre su primer producto defectuoso en la octava ocasión que selecciona un producto para su inspección. EJERCICIO 3: En un cierto proceso de manufactura se sabe que, en promedio uno de cada cien artículos es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que el quinto artículo examinado sea el primer defectuoso?

HIPERGEOMÉTRICA Este modelo presenta similitudes con el Binomial, pero sin la suposición de independencia de éste último. Partimos de un conjunto formado por N individuos divididos en dos categorías mutuamente excluyentes: A y A c ; de manera que N 1 individuos pertenecen a la categoría A y N 2 individuos, a la categoría A c. Por tanto, se cumple que N = N 1 + N 2 Si del conjunto anterior extraemos n individuos sin reemplaza- miento (n ≤ N), la variable X que representa el número k de individuos que pertenecen a la categoría A (de los n extraídos) tiene por función de densidad:

HIPERGEOMÉTRICA

HIPERGEOMÉTRICA EJERCICIO 1: De cada tornillos fabricados por una determinada máquina hay 2 defectuosos. Para realizar el control de calidad se observan 150 tornillos y se rechaza el lote si el número de defectuosos es mayor que 1. Calcular la probabilidad de que el lote sea rechazado.

DETERMINACIÓN TIPO DE DISTRIBUCIÓN DE UN CONJUNTO DE DATOS

CHI - CUADRADO EJERCICIO 1: Emplee la prueba de Chi-cuadrada para determinar con un nivel de significancia del 95% que tipo de distribución siguen los siguientes datos de automóviles que entran a una gasolinera por hora:

DETERMINACIÓN TIPO DE DISTRIBUCIÓN DE UN CONJUNTO DE DATOS

KOLGOMOROV – SMIRNOV EJERCICIO 2: Emplee la prueba de K-S para determinar con un nivel de significancia del 95% que tipo de distribución siguen los siguientes datos de automóviles que entran a una gasolinera por hora:

DETERMINACIÓN TIPO DE DISTRIBUCIÓN DE UN CONJUNTO DE DATOS

TRABAJO GRUPAL Emplee la prueba de Chi-cuadrada para determinar con un nivel de confianza del 95% que tipo de distribución siguen los siguientes datos, compruebe con la herramienta STAT FIT de Promodel:

AJUSTE DE DATOS CON STAT FIT

DETERMINACIÓN TIPO DE DISTRIBUCIÓN DE UN CONJUNTO DE DATOS

Slide Title Product A Feature 1 Feature 2 Feature 3 Product B Feature 1 Feature 2 Feature 3