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Función de probabilidad
Pedro Godoy G. Función de probabilidad
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Distribuciones de probabilidad:
Estudiaremos a continuación algunas distribuciones de probabilidad de variables aleatorias importantes. Estas distribuciones son modelos particulares para asignar probabilidades a subconjuntos de números reales. Empezaremos con las distribuciones de tipo discreto y continuaremos después con las de tipo continuo. Es importante señalar que ésta es solamente una lista parcial de algunas distribuciones de probabilidad de mayor uso. Distribución uniforme discreta. Decimos que una variable aleatoria X tiene una distribución uniforme discreta sobre el conjunto finito de números {x1, , xn} si la probabilidad de que X tome cualquiera de estos valores es la misma, es decir, 1/n. Esta distribución surge en espacios de probabilidad equiprobable, esto es, en situaciones en donde tenemos n resultados diferentes y todos ellos tienen la misma probabilidad de ocurrir. Los juegos de lotería son un ejemplo donde puede aplicarse esta distribución de probabilidad. Escribimos entonces X ∼ unif{x1, x2, , xn} si
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Obs.: No olvidar que una probabilidad P(A) satisface 0 ≤ P(A) ≤ 1
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Frecuencia relativa en estadística.
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En general la función distribución de probabilidad acumulada es:
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ESPERANZA MATEMÁTICA En estadística la esperanza matemática (también llamada esperanza, valor esperado, media poblacional o media) de una variable aleatoria X, es el número E(X) que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.
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Linealidad de la esperanza matemática
E(X + Y) = E(X) + E(Y) E(k · X) = k · E(X) para todo número real k . E(k) = k para todo número real k. E(a · X + b) = a · E(X) + b para todo par de números reales a y b.
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Cuatro personas apuestas 1 dólar a que saldrá un número en un dado, cada uno a
a un número diferente . Entonces por cada dólar apostado si se gana recibes 3 dólares más. ¿saldrá a cuenta apostar en este juego? La probab de perder 1 dólar es 5/6 , ya que perdemos si no sale el número elegido En cambio la prob de ganar 3 dólares es de 1/6 Así la esperanza es ]: Así por cada dólar apostado podemos perder 0,33 centésimos. Se dice que este es un juego de esperanza negativa.
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Un jugador lanza dos monedas
Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 dólar si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 dólares si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable. Gana (US) x P(x) 1 2/4 2 -5
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Si una persona compra un número rifa en una rifa, en la que puede ganar de $ ó un segundo premio de $2000 con probabilidades de: y ¿Cuál sería el precio justo a pagar por el número de rifa? E(x) = 5000 · · = 11 dólares
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ACTIVIDAD 1) Suponga que las probabilidades de que haya 0,1,2,o 3 fallas de energía eléctrica en cierta ciudad en un mes son de 0,4; 0,3; 0,2; y 0,1 respectivamente. Calcule la esperanza matemática del número de fallas. 2) Una compañía compra 3 TV en una tienda donde se conoce que hay 2 TV defectuosos y 5 TV buenos. Halle la distribución de probabilidad para el número de TV defectuosos si la prueba se realiza sin reemplazo, calcule además la esperanza matemática.
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Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:
p i 0,1 1 0,2 2 3 0,4 4 5 ¿Cuál es la esperanza en esta función de probabilidad?
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Varianza y desviación estándar en una función de probabilidad
Del problema anterior obtener su varianza y desviación estándar
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DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI
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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
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Definición de Distribución Binomial
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El símbolo anterior se puede expresar como
Demostración: En n ensayos se han producido x éxitos y n– x fracasos. Como los ensayos son independientes, luego la probabilidad de obtener éxitos es px(1–p)n–x con respectos a los fracasos que pueden ocurrir. Las formas de ocurrir los éxitos en los n ensayos se puede obtener de las siguientes maneras Pero este número es un factor de la probabilidad. El símbolo anterior se puede expresar como Luego f(x) = px (1p)nx . Ejemplo: Se realiza ocho veces el lanzamiento de un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 4 veces el número 6?
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Ejemplos de distrib binomial
Nº de caras al lanzar 20 veces una moneda Nº de aprobados si se presentan 80 alumnos a un examen Nº de familias con un solo hijo en una población de 120 familias Nº de reacciones negativas ante un fármaco administrado a 40 pacientes Nº de accidentes de tráfico si han circulado automóviles Nº de semillas que germinan de las 20 semillas que se han plantado en suelos de idéntica composición.
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La media y la varianza
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Problemas La probabilidad de que cierto antibiótico presente una reacción negativa al administrarse a un ave rapaz en recuperación es de Si se les ha administrado dicho antibiótico a 10 aves, calcúlense las probabilidades de que haya reacción negativa: a. En dos aves b. En ningún ave c. En menos de 4 aves d. En más de 3 aves e. Entre 2 y 5 aves Solución: Suceso A : “ A un ave se le presenta reacción negativa” X : “ n° de aves a las que se les presenta tal reacción” P(A) = 0,15 ; n = ;
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PSU
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Función de distribución es
Propiedades importantes X 1 2 3 4 P(x) 1/16 1/4 3/8
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Problemas varios 1) Supongamos que la probabilidad de que una pareja tenga un hijo o una hija es igual. Calcular la probabilidad de que una familia con 6 descendientes tenga 2 hijos Resp :0,2344
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La probabilidad de que un alumno de 1º de Psicología apruebe las Matemáticas es de 0,7. Si consideramos un grupo de 8 alumnos, a) ¿cuál es la probabilidad de que cinco de ellos aprueben las Matemáticas?. R: 0,254 b) ¿Cuál es la probabilidad de que aprueben como mucho 2 alumnos? R: 0,1013 c)¿Cuál es la probabilidad de que aprueben entre 3 y 6 alumnos(inclusive)? R: 0,7334
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En una distribución binomial B(10; 0,4), hallar P(x=0) P(x = 3)
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Company Logo Hacer con su compañero
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