Rotación y reflexión en el plano PPTCEG024EM32-A16V1 EM-32 Rotación y reflexión en el plano

Resumen de la clase anterior Recordemos… ¿Qué características tiene un vector? ¿Qué operación se debe realizar cuando un punto se traslada mediante un vector de traslación?

Aprendizajes esperados Aplicar la rotación de puntos y figuras en el plano cartesiano con respecto al origen. Aplicar la rotación de puntos y figuras en el plano cartesiano con respecto a un punto distinto del origen. Aplicar la simetría axial de puntos y figuras con respecto a un eje de simetría. Aplicar la simetría axial de puntos y figuras con respecto a los ejes coordenados. Aplicar simetría central de puntos y figuras con respecto al origen y con respecto a un punto distinto del origen. Aplicación de la composición de transformaciones isométricas.

Pregunta oficial PSU Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2016. De acuerdo a la figura 4, ¿con cuál de las siguientes transformaciones isométricas en el plano, NO se puede obtener el triángulo B a partir del triángulo A? Con una simetría y luego con una traslación. B) Con una traslación y luego con una simetría. C) Con una traslación según el vector (4, 1) y luego con una rotación. D) Con tres simetrías y luego con una traslación. E) Con una traslación, luego con una simetría y después con otra traslación. ¿Qué entiendes por transformaciones isométricas? ¿Cuál será la diferencia entre rotación y simetría?

Rotación Simetría o reflexión Composición de transformaciones isométricas

1. Rotación < 1.1 Rotación respecto al origen Corresponde a un movimiento circular con respecto a un centro de rotación en un ángulo determinado. O La rotación es positiva si es en sentido antihorario (contrario a los punteros del reloj). O: centro de rotación Si el punto A(x, y) gira con respecto al origen en 90°, 180°, 270° o 360°, se transforma en un punto cuyas coordenadas se indican en la siguiente tabla: 90° 180° 270° 360° A(x, y) Punto Ángulo (–y, x) (–x, –y) (y, –x) (x, y)

1. Rotación 1.2 Rotación respecto a un punto distinto del origen El punto B(5, 4) se rota en torno al punto A(1, 1) en 90°. ¿Cuáles son las nuevas coordenadas de B? 1 2 3 4 –1 –2 –3 5 Se traslada todo el segmento AB utilizando el vector T(– 1, – 1). B´ B Al aplicarlo, el punto A queda en el origen y el punto B queda en las coordenadas (4,3). A Luego, se gira el segmento AB en torno al punto A, quedando B en las coordenadas (– 3,4). Para volver a la situación original, aplicamos el vector T´(1,1) al segmento AB, quedando B en las coordenadas (– 2,5).

Más información en la página 86 de tu libro. 1. Rotación 1.3 Ejemplo El triángulo rectángulo de la figura 4, se rota en 60º en torno a su vértice H, en sentido horario y luego en 120º en sentido antihorario, con respecto al mismo punto. Si H pertenece a la recta horizontal L, ¿cuál de las siguientes opciones indica mejor el lugar donde queda ubicado el triángulo después de estas rotaciones? Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2012. ALTERNATIVA CORRECTA C Más información en la página 86 de tu libro. ¡AHORA TÚ! (5 minutos) Ejercicios 2 y 5 de tu guía.

2. Simetría o reflexión 2.1 Definición Se puede considerar una simetría como aquella transformación que aplicada a un punto, lo mueve 180° con respecto a un elemento de simetría, que puede ser una recta o un punto. Simetría axial: reflexión respecto a una recta. Simetría central: reflexión respecto a un punto. O A A´ A A´ M Eje de simetría O : Centro de simetría

2. Simetría o reflexión 2.2 Simetría axial en el plano cartesiano Una simetría axial corresponde a una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto A del plano otro punto A’, tal que el segmento que los une es perpendicular en su punto medio a una recta fija llamada eje de simetría. y 1 2 3 4 -1 -2 -3 5 eje de simetría: x = 1 M A A’ 3 unidades 3 unidades x AA’ es perpendicular al eje de simetría AM MA’

2. Simetría o reflexión 2.3 Simetría central en el plano cartesiano Una simetría central corresponde a una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto A del plano otro punto A’, tal que el segmento que los une queda dividido en partes iguales por un punto fijo llamado centro de simetría. y 3 1 2 4 -1 -2 -3 5 C B O A A´ B´ x C´ Una simetría central equivale a una rotación de 180º con respecto a un punto.

Más información en las páginas 87 y 88 de tu libro. 2. Simetría o reflexión 2.4 Ejemplo En el sistema de ejes coordenados, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El punto simétrico de (2, 3) con respecto al eje x es (– 2, 3). II) El punto simétrico de (– 3, 5) con respecto al origen es (3, – 5). III) El punto simétrico de (3, 4) con respecto al eje y es (– 3, 4). A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2013. ALTERNATIVA CORRECTA D Más información en las páginas 87 y 88 de tu libro. ¡AHORA TÚ! (5 minutos) Ejercicios 10 y 14 de tu guía.

3. Composición 3.1 Composición de transformaciones isométricas Consiste en aplicar sobre un punto o figura una transformación y luego sobre su imagen, otra transformación, y así sucesivamente un número determinado de transformaciones. Traslación Rotación Simetría central Simetría axial

Más información en la página 89 de tu libro. 3. Composición 3.2 Ejemplo Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2014. Al cuadrado PQRS de la figura 3, con dos lados paralelos al eje x y centro en el origen O del sistema de ejes coordenados, se le aplica una o varias rotaciones en 90° alrededor del origen y/o reflexiones con respecto al eje x. ¿En cuál de las siguientes opciones la figura NO puede ser la imagen de PQRS después de aplicar una o varias de estas transformaciones isométricas? ALTERNATIVA CORRECTA A Más información en la página 89 de tu libro. ¡AHORA TÚ! (5 minutos) Ejercicios 21 y 23 de tu guía.

Pregunta oficial PSU Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2016. De acuerdo a la figura 4, ¿con cuál de las siguientes transformaciones isométricas en el plano, NO se puede obtener el triángulo B a partir del triángulo A? Con una simetría y luego con una traslación. B) Con una traslación y luego con una simetría. C) Con una traslación según el vector (4, 1) y luego con una rotación. D) Con tres simetrías y luego con una traslación. E) Con una traslación, luego con una simetría y después con otra traslación. ALTERNATIVA CORRECTA C

Síntesis de la clase Recordemos… Si una rotación es positiva, ¿en qué sentido es el giro? ¿Cuál es la diferencia entre simetría central y axial? ¿En qué consiste la composición de transformaciones isométricas?

Prepara tu próxima clase En la próxima sesión, estudiaremos Taller de Geometría general

Transformaciones isométricas Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 1 A Transformaciones isométricas Comprensión 2 D 3 B Aplicación 4 5 C ASE 6 7 8 9 10 11 12

Transformaciones isométricas Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 13 * 14 D Transformaciones isométricas Comprensión 15 E ASE 16 17 B 18 Aplicación 19 20 21 22 A 23 C 24 25

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