FUNCIONES ELEMENTALES. Matemáticas.

ÍNDICE 1. Funciones lineales. 2. Funciones cuadráticas. 3. Funciones tipo y 4. Funciones tipo 5. Funciones exponenciales. 6. Funciones logarítmicas. 7. Funciones definidas a trozos.

1. Funciones lineales. Su expresión analítica es “f(x)= mx + n” - m=pendiente. Si m>0 es ascendente; si m<0 es descendente. Si m=0 es constante. - n=punto de corte con el eje y. Si n=0, pasa por el punto (0,0). * Si f(x)=m x función afín.

 f(x)= mx + n m>0  f(x)= mx + n m<0  f(x)= x Identidad.  f(x)= n Constante.

Características:  Dominio = R  Recorrido = R Excepto en las funciones constantes (ej: f(x)=4, Rec f=4 )  Simetría: No existe simetría excepto: a) Función constante= simétrica par. b) Función identidad y afines= simétrica impar. m>0 Creciente  Monotonía m<0 Decreciente m=0 Constante.  No hay extremos absolutos ni relativos.  Para representar una función lineal son necesarios 2 puntos, que se unen mediante una línea recta infinita.

2. Funciones cuadráticas. Su expresión analítica es f(x)=ax²+bx +c.f(x)=ax²+bx +c. Si a>0 Convexa. Tienen forma parabólica Si a<0 Cóncava. Elementos de una parábola. a) Vértice b) Eje de simetría a<0 a>0 a<0

Características: DDominio=R a) Si a>0 Rec f = [,+ ∞) RRecorrido b) Si a<0 Rec f = (-∞, ] NNo es simétrica excepto cuando el vértice esta en el eje y (b=0). En este caso sería simétrica par. f decreciente (- ∞, ) a) si a>0 f creciente (, + ∞) MMonotonía f creciente (- ∞, ) b) si a <0 f decreciente (, + ∞)

a) si a>0 Mínimo absoluto  Extremos b) si a<0 Máximo absoluto a) si a>0 f(x) convexa en R  Curvatura b) si a<0 f(x) cóncava en R  Para representar una función cuadrática: 1. Calculamos el vértice 2. Hallamos 2 valores de x antes del vértice. 3. Hallamos 2 valores de x después del vértice.

3. Funciones tipo  k>0 k<0

Características.  Dom f = R \{0} x=0 (asíntota vertical)  Rec f = R \ {0} y=0 (asíntota horizontal)  Todas las funciones tipo presentan simetría impar.  No hay extremos absolutos ni relativos. a) Si k>0 f(x) decreciente(-∞,0)U(0,+ ∞)  Monotonía b) Si k<0 f(x) creciente (- ∞,0)U(0,+ ∞) f(x) cóncava (- ∞, 0) a) Si k>0 f(x) convexa (0, + ∞)  Curvatura b) Si k<0 f(x) convexa (- ∞, 0) f(x) cóncava (0,+ ∞)

 Para representarla.  En primer lugar, en la tabla de valores se toma un valor a la izquierda de la asíntota, que en este caso es 0, y otro a la derecha: (0+) y (0-). Con ello calculamos entonces hacia dónde se irá cada lado, si a +inf o a –inf.  En segundo lugar, se toma al menos 2 valores por la izquierda y otros dos por la derecha. Ej: f(x)= x y - ∞ + ∞

3.1 Funciones tipo  k є R y es un valor fijo. aa (valor donde se anula el denom.)= asíntota vertical. EEl signo de k determinará la forma de la función.

Características.  Dom f = R \ {valor dónde se anula el denom.} (asíntota vertical)  Rec f = R \ {0} (asíntota horizontal)  No presentan simetría (excepto si a=0).  No hay extremos absolutos ni relativos. a) Si k>0 f(x) decreciente(-∞,a)U(a,+∞)  Monotonía b) Si k<0 f(x) creciente (- ∞,a)U(a,+∞) f(x) cóncava (- ∞, a) a) Si k>0 f(x) convexa (a, + ∞)  Curvatura b) Si k<0 f(x) convexa (- ∞, a) f(x) cóncava (a,+ ∞)

 Para representarla se siguen los mismos pasos que para las, pero en vez de coger los valores a la izquierda y derecha del 0, se hará con el valor que anule el denominador en cada caso. Ej: x y

4. Funciones tipo  Estas funciones son similares a las tipo, pero en este caso el valor de la izquierda y de la derecha de la asíntota serán iguales. Las dos ramas irán a +∞ o –∞.  k seguirá siendo un valor fijo y pertenecerá a R. f(x)=

Características.  Dom f = R \{a}  Rec f k>0 (0, + ∞ ) k<0 (- ∞, 0)  No existe simetría excepto si a=0 (Simetría par).  No hay extremos absolutos ni relativos. f(x) creciente (- ∞, a) a) Si k>0 f(x) decreciente (a, + ∞ )  Monotonía b) Si k<0 f(x) decreciente (- ∞, a) f(x) creciente (a,+ ∞ ) a) Si k>0 f(x) convexa (- ∞,a)U(a,+ ∞)  Curvatura b) Si k<0 f(x) cóncava (- ∞,a)U(a,+ ∞ )

 Para representarla.  En primer lugar, en la tabla de valores se toma un valor a la izquierda de la asíntota (a), y otro a la derecha. Calculamos entonces hacia donde tenderán dichos valores, si a +∞ o a – ∞(dependerá del signo de k).  En segundo lugar, se toma al menos 2 valores por la izquierda y otros dos por la derecha de la asíntota vertical. Ej: f(x)= x y +∞

5. Funciones exponenciales.  La expresión analítica siendo a>0 y a≠1.  Todas pasan por el punto (0,1).  Asíntota horizontal en y=0. Características.  Dom f= R Rec f= (0,+ ∞).  No hay extremos absolutos ni relativos.  No presenta simetría.

Características. 



6. Funciones logarítmicas.  Tienen la forma analítica f(x)=log a (x) siendo a>0 y a≠1.  Todas pasan por el punto (1,0).

Características.  Dom f si a>1, dom f= (0, +∞) si 0<a<1, dom f= (0, +∞)  Rec f= R (para cualquier a>0 y a≠1)  Tienen una asíntota en x=0  No hay extremos absolutos ni relativos.  No presenta simetría.  Curvatura :es cóncava si a>0 y convexa si 0<a<1 a) si a>1 f creciente en todo su dominio.  Monotonía b) si 0<a<1 f decreciente en todo su dominio.

 Para representar: Se toman varios valores a la izquierda y a la derecha del P(1,0). Ej: f(x)= log 2 (x) x y 1) si a>1, x -∞ Tienen una asíntota vertical en x=0 2) si a<1, x +∞

Características.

7. Funciones definidas a trozos. Función subdivida por funciones según los valores de x. Representamos cada parte-función según la características de ésta. Importante: siempre buscar la imagen del punto de enlace para las dos Funciones que se encuentre en el entorno de ese valor.